Уравнение x^2+pxy+qy^2=z^k

[scwec]

Докажите, что уравнение $x^2+pxy+qy^2=z^k$ имеет бесконечно много решений в целых числах $x,y,z$ при любых целых $p,q$ и любом натуральном $k$.

[DeBill]

$y=0, x=t^k, z=t^2$....

[scwec]

Бдительность на высоте. В условии исключим нулевые решения.
А вот исходная формулировка Р.Кармайкла:
Describe a method for finding two-parameter solutions of the equation
$x^2+axy+by^2= z^k$ for any given positive integral value of k.
Это одно из упражнений в его книге DIOPHANTINE ANALYSIS.

[Sonic86]

Так вроде тоже легко:

(примерное рассуждение)

Если $k$ нечетно, то делаем подстановку $x=z^ku, y=z^kv$, получаем $u^2+auv+bv^2=z=Z(u,v)$ - получаем параметрическое решение в целых числах от $u,v\in\mathbb{Z}$.
Если же $k \bmod 2=0$, то делаем подстановку $x=z^{k-1}u, y=z^{k-1}v$ получаем уравнение $u^2+auv+bv^2=z^2$ в целых числах, т.е. уравнение $s^2+ast+bt^2=1$ в рациональных числах $s,t$. Рациональная точка у кривой $(1;0)$, значит есть 1-параметрическое семейство решений $s=s(a), t=t(a)$ в рациональных функциях, $a$ - рациональный параметр, тогда можно взять $z$ знаменателями, а $x,y$ - числителями дробей $s,t$, а чтобы получилось 2-хпараметрическое семейство, надо $a$ тоже расписать в виде дроби от 2-х переменных и упростить.

[scwec]

Sonic86 , набросок доказательства с помошью метода секущих вполне подходит (поаккуратней только с обозначениями).
Однако, имелось в виду этот метод не использовать здесь, а применить метод "multiplicative domain".
А именно, воспользоваться тем, что $(m^2+amn+bn^2)(p^2+apq+bq^2)=x^2+axy+by^2\qquad(1)$,
где $x=mp-bnq, y=np+mq+anq\qquad(2)$
Полагая $p=m,q=n$, получаем $x^2+axy+by^2=(m^2+amn+bn^2)^2\qquad(3)$,
и $x=m^2-bn^2, y=2mn+an^2$
Далее умножаем обе части $(3)$ на $(m^2+amn+bn^2)$ и используем $(2)$ для нахождения следующих $x,y$ для $k=3$ и т.д.
Выбирая $m,n$ произвольно, получаем бесконечно много решений для любых натуральных $k$
При этом $z=(m^2+amn+bn^2)$ для всех $k$.
Рекурсию не выписываю. Она очевидна.