Измеримые и измеримые по Борелю функции

[realeugene]

kp9r4d в сообщении #1254819 писал(а):

Ой, я $(\mathcal{L},\mathcal{B})$ хотел сказать.

Тогда это обозначение непонятно. В учебнике М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов "Мера и Интеграл", М., "Факториал", 1998 такого обозначения нет. В нём измеримость определённых на измеримом $(X, M, \mu)$ пространстве функций с областью значений в расширенной числовой оси определяется через сечения этой расширенной числовой оси. Вы подразумеваете более общее определение?

[g______d]

Я так понимаю, имеются в виду измеримые отображения из $(\mathbb R,\mathcal L)$ в $(\mathbb R,\mathcal B)$.

[slu4ayniyProcess]

realeugene писал(а):

В алгебру включаются не точки, а подмножества омеги. Единицы входит в алгебру по определению. Функции отображают элементы омеги в числа. Для каждого элемента омеги (для каждой точки аргумента) существует ряд чисел - значений функций на этой точке в функциональном ряду. Без привязки к алгебре. Этот ряд либо сходится, либо нет.

Но в таком случае вы говорите о функции множества. А я о функции точки.

kp9r4d писал(а):

1) Есть же конструктивный дефинишн измеримых функций: это просто поточечные (или равномерные) пределы простых функций.

А чем это определение более конструктивно чем определение через обратное отображение одной алгебры в другую?
Определение интеграла Лебега становится понятнее?

kp9r4d писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

функций измеримы по Борелю

Не нужны и думать о них не нужно.

Почему? Крамер только на них и строит свою книгу по статистике. Колмогоров в книге "Элементы теории функций и функционального анализа" также выделяет эти функции, давая два отдельных определения для измеримых и измеримых по Борелю.
На что стоит в таком случае обратить внимание?

kp9r4d писал(а):

Скажем, что измеримые по Лебегу $(\mathcal{B},\mathcal{L})$-измеримые) функции это наименьший класс функций, который включает в себя все простые и замкнут относительно поточечных пределов это понятно? Хотя бы формулировка.

В книге Колмогоров А.Н. Фомин С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа" параграф 5-тый приводится вот такое определение простой функции:

Цитата:

О п р е д е л е н и е 1. Функция f(x), определенная на некотором пространстве X с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений.

Таким образом простые функции вводятся через понятие измеримость. А у вас наоборот в комментарии выше измеримость вводится через простые функции.
Приведите в таком случае, свое определение простых функций.

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

Таким образом простые функции вводятся через понятие измеримость. А у вас наоборот в комментарии выше измеримость вводится через простые функции.

Вы путаете измеримые функции и измеримые множества. Вообще, у вас каша в голове. Возьмите какой-нибудь один учебник и разберите его, у вас переключение с одного на другой происходит с потерями.

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

Но в таком случае вы говорите о функции множества. А я о функции точки.

Нет.

[slu4ayniyProcess]

g______d в сообщении #1254994 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

Таким образом простые функции вводятся через понятие измеримость. А у вас наоборот в комментарии выше измеримость вводится через простые функции.

Вы путаете измеримые функции и измеримые множества. Вообще, у вас каша в голове. Возьмите какой-нибудь один учебник и разберите его, у вас переключение с одного на другой происходит с потерями.

Нет не путаю. Учебники я внимательно читал и вникал.
Понял почему вы так подумали.

Цитата:

Таким образом простые функции вводятся через понятие измеримость. А у вас наоборот в комментарии выше измеримость вводится через простые функции.

Здесь под понятием измеримость я имел ввиду измеримость функции. Думал это будет понятно из контекста и приведенного определения.

Вот определение измеримых функций, которое предложил kp9r4d:

kp9r4d писал(а):

1) Есть же конструктивный дефинишн измеримых функций: это просто поточечные (или равномерные) пределы простых функций.

Вот определение простых функций из учебника Колмогорова.

Цитата:

О п р е д е л е н и е 1. Функция f(x), определенная на некотором пространстве X с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений.

То есть, чтобы функция была простая она должна быть изначально измеримой. Далее в учебнике приводится теорема которая объявляет эквивалентность между измеримостью функции и возможности ее представления как предела равномерно сходящейся последовательности простых функций.
Поэтому я понимаю, почему kp9r4d привел такое определение, но все же оно циклично.

В прочем если рассматривать еще и эту теорему.

Тогда, наверное можно определить понятие простой функции через нее, и мы избавимся от привязки к понятию измеримости функции. И тогда определение измеримых функций через простые будет иметь место. Но до конца не уверен в этом.

-- 12.10.2017, 03:02 --

realeugene в сообщении #1255008 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

Но в таком случае вы говорите о функции множества. А я о функции точки.

Нет.

Да действительно. С первого раза не понял, про элементы омеги.

-- 12.10.2017, 03:30 --

realeugene писал(а):

Но функции этой последовательности сами не А-измеримы.

Почему же? Давайте более наглядно. Допустим, что мы рассматриваем пространство действительных чисел.
$A = [0, 1]$
Функции в последовательности чередуются через одну, сначала
$f_1(x) = x$
потом
$f_2(x) = x$ на $[0, 1] \setminus [0.5, 0.5]$ и $f_2(x) = 0.1$ на $[0.5, 0.5]$
итд.

Первая очевидно измерима.
Вторая как мне кажется тоже. Ибо $f^-1(A) = A$. Ну то есть она не имеет значения в точке $y = 0.5$, но зато в точке $y = 0.1$ сразу два значения, и по итогу A отображается в A. Или что-то не правильно?

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1255010 писал(а):

Или что-то не правильно?

slu4ayniyProcess в сообщении #1255010 писал(а):

$A = [0, 1]$

А - это должна быть алгебра, то есть некоторое множество подмножеств $\mathbb{R}$. А у вас нет.

[slu4ayniyProcess]

realeugene в сообщении #1255029 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1255010 писал(а):

Или что-то не правильно?

slu4ayniyProcess в сообщении #1255010 писал(а):

$A = [0, 1]$

А - это должна быть алгебра, то есть некоторое множество подмножеств $\mathbb{R}$. А у вас нет.

Алгебра будет такая: {$\varnothing$, [0, 1]}.

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1255030 писал(а):

Алгебра будет такая: {$\varnothing$, [0, 1]}.

Уже лучше. А теперь прочтите внимательно определение А-измеримой функции.
Даже ваша $f_1(x)=x$, очевидно, не А-измерима.

[kp9r4d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

А чем это определение более конструктивно чем определение через обратное отображение одной алгебры в другую?

Ну в широком смысле конструктивно: что измеримые, это такие которые строятся из простых при помощи простой операции - предельного перехода, правда за, возможно, бесконечное число шагов ($\varepsilon_0$ шагов должно хватить).

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

Почему? Крамер только на них и строит свою книгу по статистике. Колмогоров в книге "Элементы теории функций и функционального анализа" также выделяет эти функции, давая два отдельных определения для измеримых и измеримых по Борелю.
На что стоит в таком случае обратить внимание?

Да не знаю, вот просто как-то прикинул - а зачем они нужны, и как-то подумал, что не нужны. А в книжках по статистике мало ли что напишут, книжек же много очень, а нас мало. Да и вообще, если глобальнее, все эти теоретико-мерные основания не такая уж и важная штука на самом деле, чтобы о ней слишком много думать.

slu4ayniyProcess в сообщении #1254987 писал(а):

В книге Колмогоров А.Н. Фомин С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа" параграф 5-тый приводится вот такое определение простой функции:

Можете считать, что простая - это конечная линейная комбинация хар.функций измеримых множеств, чтобы наверняка не было порочных кругов.

[realeugene]

g______d в сообщении #1254850 писал(а):

Я так понимаю, имеются в виду измеримые отображения из $(\mathbb R,\mathcal L)$ в $(\mathbb R,\mathcal B)$.

Но $(\mathbb R,\mathcal B)$ не содержит бесконечные точки. А бесконечные функции (с областью значений на расширенной действительной оси) измеримы по Лебеговой мере. Равно как и поточечный предел простых функций не обязан быть конечным.

[g______d]

realeugene в сообщении #1255038 писал(а):

Но $(\mathbb R,\mathcal B)$ не содержит бесконечные точки. А бесконечные функции (с областью значений на расширенной действительной оси) измеримы по Лебеговой мере. Равно как и поточечный предел простых функций не обязан быть конечным.

Разница между двумя $\sigma$-алгебрами никак не связана с конечностью или бесконечностью. Если уж совсем честно, то в качестве области значений функций обычно рассматривают либо $(\mathbb C,\mathcal B)$, либо $([0,+\infty],\mathcal B)$.

[slu4ayniyProcess]

realeugene писал(а):

Так второе свойство называется полнотой меры. У вероятностной меры нет аксиомы полноты.

В аксиомах вероятности есть конечность, сигма аддитивность и неотрицательность. А этого вроде как достаточно, чтобы продолжить меру до полной на сигма алгебре. (теорема каратеодори и лебогово продолжение)

g______d писал(а):

Есть три естественных свойства меры и измеримости:

1) Композиция измеримых функций измерима.
2) Любое подмножество множества меры нуль измеримо (и тоже имеет меру нуль, но это уже автоматически).
3) Любая непрерывная функция измерима.

Проблема в том, что, кроме вырожденных случаев вроде дискретной меры, все три свойства сразу иметь невозможно. На каждые два из трёх есть своё определение, и оказалось, что в классическом анализе и вероятности наиболее важны пункты 2 и 3, пожертвовав тем, что $\sigma$-алгебры на области определения и значений не будут одинаковыми.

1) А можно узнать где смотреть определение скажем для одновременной выполнимости пунктов 1 и 3? или 1 и 2?
2) Что нам мешает сказать, что функция измерима если она борелевская. И взять любую полную меру. Тогда все 3 пункта будут выполнены ведь.
3) Полнота меры нужна ведь для того, чтобы доказать измеримость функции полученной как предел(почти всюду) последовательности измеримых функций, верно?

[slu4ayniyProcess]

slu4ayniyProcess писал(а):

2) Что нам мешает сказать, что функция измерима если она борелевская. И взять любую полную меру. Тогда все 3 пункта будут выполнены ведь.

Кажется сам понял как ответить.
Наверное путаницу внес, тот факт что в книгах "Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа" и "Крамер, Математические методы статистики" определение полноты меры никак не связано с системой множеств на которых эта мера определена.
Вот к примеру как выглядит определение полноты меры из "Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа".

Цитата:

Мера $\mu$ называется полной, если из $\mu(A) =0$ и $A’ \subset A$ вытекает, что $A’$ измеримо.

А вот в книге "Дьяченко, Ульянов, Мера и интеграл" страница 32, определение 6.2. , прямо указывается, что не просто все подмножества множества меры нуль должны иметь меру нуль, но они также должны быть элементами кольца, на котором определена мера.

При этом понимаю, почему в "Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа" и "Крамер, Математические методы статистики" определение именно такое. В первой книге измеримые функции рассматриваются только относительно полной меры, а неполные в принципе не рассматриваются. А вот во второй, рассматриваются как раз B-измеримые функции. Но при этом, предел почти всюду от таких функций как отдельная функция не рассматривается. Только с точки зрения интеграла от такой функции.

Так вот, что получается:
2) Если за измеримые функции взять только B-измеримые функции, то мы получаем следующие свойства: "Композиция измеримых функций измерима", "Любая непрерывная функция измерима".
Но теряем полноту меры и следовательно пределы почти всюду(относительно полной меры, а вероятностная мера полная) могут быть и не Б-измеримые. (Но при этом будут измеримы относительно лебегова пополнения борелевской сигма алгебры.)

И тем не менее остается один момент, который не укладывается.
Вот так выглядит начало доказательства теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, для последовательности ограниченных B-измеримых функций, на множествах конечной меры, в книге "Крамер, Математические методы статистики".

(Крамер, Математические методы статистики, страница 54)

Как видим он делает вывод о B-измеримости функции. И хоть для доказательства теоремы это не важно, тем не менее не понятно.
Возможно "почти всюду", которое имеет ввиду Крамер, означает всюду кроме борелевских множеств меры нуль, а не просто множеств меры нуль. Тогда по идее все верно.
Вот его определение "почти всюду". Вроде подразумевает в том числе и не борелевские множества меры нуль. А значит или в доказательстве небольшая ошибка(не влияющая на результат, т.к. и просто измеримые и ограниченные функции на множестве конечной меры интегрируемы), либо я где-то не до конца все понял.

(Крамер, Математические методы статистики, страница 53)

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1264595 писал(а):

"Крамер, Математические методы статистики" определение полноты меры никак не связано с системой множеств на которых эта мера определена.

Если вы противопоставляете определение Крамера двум оставшимся, привели бы его здесь тоже, чтобы за вас не искать... Потому что

slu4ayniyProcess в сообщении #1264595 писал(а):

Вот к примеру как выглядит определение полноты меры из "Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа".

slu4ayniyProcess в сообщении #1264595 писал(а):

А вот в книге "Дьяченко, Ульянов, Мера и интеграл" страница 32, определение 6.2. , прямо указывается, что не просто все подмножества множества меры нуль должны иметь меру нуль, но они также должны быть элементами кольца, на котором определена мера.

Это одно и тоже. Если подмножество множества меры нуль измеримо, то его мера обязательно будет нулевой из конечной аддитивности. Во второй цитате "но они также" -- в некотором смысле избыточно, так как первая половина уже предполагает, что мера определена.

slu4ayniyProcess в сообщении #1264595 писал(а):

Возможно "почти всюду", которое имеет ввиду Крамер, означает всюду кроме борелевских множеств меры нуль, а не просто множеств меры нуль.

А какая разница? Любое множество лебеговской меры нуль содержится в множестве борелевской меры нуль. Поэтому сходимость везде кроме первого сильнее, чем сходимость везде кроме второго.