Задачки по матфизике

[Shellys]

Здравствуйте Нужна помощь в решении задач:

1.Найти производную функции u(x,y,z) в направлении градиента функции v(x,y,z)

2.Найти общий интеграл уравнения $sinx*dz/dx+siny*dz/dy=sinz$

3.Решить уравнение $U_x^2+U_y^2+U_z^2=1$

4.Найти $\oint\limits_L(y+x^5)dx+(3x+y^8)dy$,L=ABCD,AB,CD-дуги полуокружностей с r=1,R=2,BC,DA-отрезки на оси OX: [-2,1] и [1,2]

Зарание огромное спасибо за любые подсказки!

[Brukvalub]

Shellys писал(а):

Найти производную функции u(x,y,z) в направлении градиента функции v(x,y,z)

А что такое градиент и производная по направлению?

[Echo-Off]

Brukvalub, по-моему, всё ясно. Градиент - это вектор, а производная по направлению вектора $\vec{v}$ - это $\lim\limits_{\Delta\to+0} \frac {u(\vec{x}+\Delta\vec{v})} {\Delta}$.

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

а производная по направлению вектора $\vec{v}$ - это $\lim\limits_{\Delta\to+0} \frac {u(\vec{x}+\Delta\vec{v})} {\Delta}$

Вы меня совсем запутали! Ведь такой предел очень часто не существует! Что же делать

[AD]

Echo-Off писал(а):

Градиент - это вектор

А нам в голову вдалбливали, что градиент - это ковектор, и что в матанализе нас обманывают по этому поводу.

[Taras]

Господа, по-моему производная по направлению - ето просто скалярное произведение градиента функции на вектор етого "направления". Просто вспомнил, что подобная "конструкция" используется в функциях Ляпунова.

[Echo-Off]

Taras писал(а):

производная по направлению - ето просто скалярное произведение градиента функции на вектор етого "направления".

Это тоже верно

[ewert]

AD писал(а):

Echo-Off писал(а):

Градиент - это вектор

А нам в голову вдалбливали, что градиент - это ковектор, и что в матанализе нас обманывают по этому поводу.

а вот не делайте неортогональных преобразований -- вот и не будет разницы.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Echo-Off писал(а):

Taras писал(а):

производная по направлению - ето просто скалярное произведение градиента функции на вектор етого "направления".

Это тоже верно

Как?! совсем-совсем для любого вектора? совсем-совсем верно?

[Echo-Off]

ewert писал(а):

Как?! совсем-совсем для любого вектора? совсем-совсем верно?

Хм. Не вижу подкола. Вроде бы для всех
Формально даже для нулевого

[ewert]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

Как?! совсем-совсем для любого вектора? совсем-совсем верно?

Хм. Не вижу подкола. Вроде бы для всех
Формально даже для нулевого

Тогда вопрос (который всегда должен автоматически возникать в подобных ситуациях): должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

[Henrylee]

Echo-Off
Про нормированность вектора направления забыли.

[AD]

ewert писал(а):

должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

А почему бы и нет? "Производная вдоль векторного поля" ... это другое?

[ewert]

AD писал(а):

ewert писал(а):

должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

А почему бы и нет? "Производная вдоль векторного поля" ... это другое?

Это что-то вроде "производной в силу уравнения"? -- это уже другое, это я уже даже и не помню. Нет, здесь речь о банальной производной по направлению.

[AD]

Ну то есть просто направление - это по определению нормированный вектор. С учетом этого замечания - вроде никто ничего неверного не сказал.

[ewert]

AD писал(а):

Ну то есть просто направление - это по определению нормированный вектор. С учетом этого замечания - вроде никто ничего неверного не сказал.

Да как сказать. Градиент-то, "в направлении которого", вовсе не обязан быть нормирован. Просто стандартным, на мой взгляд, следует считать утверждение, в котором скалярное произведение делится на норму вектора.

Добавлено спустя 7 минут 50 секунд:

Re: Задачки по матфизике

Shellys писал(а):

4.Найти $\oint\limits_L(y+x^5)dx+(3x+y^8)dy$,L=ABCD,AB,CD-дуги полуокружностей с r=1,R=2,BC,DA-отрезки на оси OX: [-2,1] и [1,2]

Надо уточнить, куда смотрят полуокружности (я так подозреваю, что вверх, чтобы получилось полукольцо сверху).

А подсказка -- такая. Поскольку интегрируется не полный диффиренциал, то интегрировать надо тупо и в лоб, по каждому из четырёх участков. Но поскольку то выражение отличается от воистину полного дифференциала лишь чуть-чуть, надо из имеющихся четырёх слагаемых оставить лишь два -- те, что попроще; а ещё чуток поднатужившись -- и вовсе лишь одно.