Найти координаты точки в системе координат

[nebachiv]

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ лежит на диагонали $BD$, причем $|BE| / |ED|=1/2$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overline{AB}, \overline{AD}$, если известны ее координаты $(x',y')$ в системе координат $E, \overline{EC}, \overline{ED}$.

Я не пойму что это за система координат, и как в ней работать.
Я попробовал порешать вышло так: $(x'-\frac{1}{3}\overline{AD},y'-\frac{2}{3}\overline{AB})$
Это верно?

[provincialka]

Координаты -- это числа. Коэффициенты линейной комбинации, разложения по базису.
Обозначим исследуемую точку через $M$. Как вы понимаете высказывание "коорднаты точки $M$ в системе координат $A, \overline{AB}, \overline{AD}$, равны $(x',y')$ "?
Кстати, а каковы в этой системе координат координаты точки $E$?

[nebachiv]

provincialka в сообщении #1254610 писал(а):

Координаты -- это числа. Коэффициенты линейной комбинации, разложения по базису.
Обозначим исследуемую точку через $M$. Как вы понимаете высказывание "коорднаты точки $M$ в системе координат $A, \overline{AB}, \overline{AD}$, равны $(x',y')$ "?
Кстати, а каковы в этой системе координат координаты точки $E$?

Я, если честно, почти ничего не понял из того что Вы сказали)

[arseniiv]

nebachiv в сообщении #1254605 писал(а):

Я не пойму что это за система координат, и как в ней работать.

Обычная аффинная система координат $(A,\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n)$, где $A$ — точка аффинного пространства (у вас плоскости) и $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ — его базис. Координаты точки $X$ в ней — это такие числа $x_i$, что $X = A + x_1\mathbf v_1 + \ldots + x_n\mathbf v_n$, т. е. эта точка должна получаться параллельным переносом $A$ на $x_1\mathbf v_1$, потом на $x_2\mathbf v_2$ и так далее. Здесь вы можете выразить интересующую точку $X = E + x'\overrightarrow{EC} + y'\overrightarrow{ED}$ через $A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$, выражая через них $E, \overrightarrow{EC}, \overrightarrow{ED}$. Выражения для $x, y$ будут зависеть только от $x', y'$, никаких векторов там быть не должно — это же числа.

-- Ср окт 11, 2017 00:34:25 --

Ну, если вдруг вы не знаете, кто такой базис, то на плоскости это просто пара неколлинеарных ненулевых векторов. Значит, в данном случае подразумевается невырожденный параллелограмм.

[Dmitriy40]

Короче проекции это, проекции. А "по умному" - см. выше.

[provincialka]

nebachiv, вы откуда задачку взяли? Где-то учитесь? Это учебная задача? Если так, то необходимые определения и прмеры должны были у вас быть. На лекциях (или в методичках).

Вы хотя бы знаете, что такое "аффинная система координат"?

-- 10.10.2017, 22:40 --

Dmitriy40 в сообщении #1254618 писал(а):

Короче проекции это, проекции.

Ага! Но только, замечу, не ортогональные (перпендикулярные), а параллельные.
Но задачку лечге решть алгебраически, счётом (ИМХО).

[nebachiv]

arseniiv в сообщении #1254615 писал(а):

nebachiv в сообщении #1254605 писал(а):

Я не пойму что это за система координат, и как в ней работать.

Обычная аффинная система координат $(A,\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n)$, где $A$ — точка аффинного пространства (у вас плоскости) и $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ — его базис. Координаты точки $X$ в ней — это такие числа $x_i$, что $X = A + x_1\mathbf v_1 + \ldots + x_n\mathbf v_n$, т. е. эта точка должна получаться параллельным переносом $A$ на $x_1\mathbf v_1$, потом на $x_2\mathbf v_2$ и так далее. Здесь вы можете выразить интересующую точку $X = E + x'\overrightarrow{EC} + y'\overrightarrow{ED}$ через $A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$, выражая через них $E, \overrightarrow{EC}, \overrightarrow{ED}$. Выражения для $x, y$ будут зависеть только от $x', y'$, никаких векторов там быть не должно — это же числа.

-- Ср окт 11, 2017 00:34:25 --

Ну, если вдруг вы не знаете, кто такой базис, то на плоскости это просто пара неколлинеарных ненулевых векторов. Значит, в данном случае подразумевается невырожденный параллелограмм.

Спасибо за разъяснение, вашим методом вышло $(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x'-\frac{2}{3}y';\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x'+\frac{2}{3}y')$