числовая последовательность и ее предел

[Kornelij]

Нужно для последовательности $x_n=(1+\frac{1}{2})\cdot(1+\frac{1}{4})\dots(1+\frac{1}{2^n})$ доказать существование предела. Моотонность очевидна, а вот как доказать ограниченность этой последовательности? Пытаюсь строить ограниченную мажоранту, но как-то не очеь получается

[teleglaz]

Рассмотрите величину $\ln x_n$.

[Null]

Можно раскрыть скобки.(Это плохой совет, тут он не сработает сходу)

[DeBill]

Или домножить на $(1-\frac{1}{2})$....

[NDP]

DeBill
Это не тот случай.

[mihiv]

Можно еще так: $\sqrt [n] {x_n}\leq \dfrac {(1+\frac 12)+\cdots +(1+\frac 1{2^n})}n$

[DeBill]

NDP
А, ну да...
mihiv
Это красиво!

[kotenok gav]

NDP в сообщении #1254347 писал(а):

DeBill
Это не тот случай.

Почему?

[Mikhail_K]

kotenok gav, посмотрите какая будет третья скобка в условии ТС.

[kotenok gav]

И?

[Mikhail_K]

kotenok gav в сообщении #1254451 писал(а):

И?

И какая же?
И что будет, когда Вы до неё дойдёте, в своём желании всё свернуть по формуле разности квадратов?

[kotenok gav]

А, понял.

[DeBill]

Или (по teleglaz, к оценке mihiv)
Из выпуклости экспоненты имеем $1+x\leqslant e^x$, так что $x_n \leqslant e$