Механические колебания

[destiny]

На рисунке показано положение равновесия колебательной системы математического маятника с массой 1000 г, длинной 400мм с пружинной связью с жесткостью 100 Н/м. Период малых колебаний такой системы равен ... мс.
Я решала путем нахождения полной механической энергии, которая является постоянно величиной и равна сумме кинетической и потенциальной энергий. По ЗСЭ я получила такую формулу : $mg2l\sin^2 \alpha/2+ (kl^2\sin^2\alpha) /2+{mv^2}/2=\operatorname{const}$ . Далее путем преобразований, с учетом того, что мы имеем дело с малыми углами, вышло : $1/2(mgl+kl^2)a^2+{mv^2}/2=\operatorname{const}$ . Что делать дальше? При условии, что нельзя прибегать к производным и соответственно дифференцированию. Я догадываюсь, что сам период надо будет найти из формулы $T=2\pi/w$. Подскажите/намекните пожалуйста, каким способом решить задачу или укажите на ошибку в моем решении..

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- замените ссылку на рисунок рисунком.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[amon]

Энергия колебаний маятника (осциллятора) равна $E=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}.$ Чему равна частота колебаний маятника?

[destiny]

частота $v=N/t=1/T=w/2\pi$
Так же, можно ее представить как $v=1/2\pi\sqrt{k/m}$

[amon]

destiny в сообщении #1254335 писал(а):

$v=1/2\pi\sqrt{k/m}$

И что, кроме излишней щепетильности, мешает Вам использовать это сакральное знание в корыстных целях (для решения Вашей задачи)?

[Munin]

Многие не знают, но частота обозначается греческой буквой "омега", а не латинской буквой "дубль-вэ".

$\omega$ - \omega
$w$ - w

[destiny]

Вероятно ничего, кроме моей личной глупости.
И так, верен ли ход моих мыслей?
$v=1/2\pi\sqrt{k/m}=1/2\pi\sqrt{100/1}=5/\pi$
$w=2\pi=10$

$T=\pi/5$
Ответ конечно же не сошелся, не зря же Вы написали мне данную подсказку : $E={mv^2}/2+{kx^2}/2$ , однако все таки не могу понять, что к чему. Буду благодарна, если еще немного поможете мне и потратите свое время.

-- 09.10.2017, 23:16 --

Munin в сообщении #1254343 писал(а):

Многие не знают, но частота обозначается греческой буквой "омега", а не латинской буквой "дубль-вэ".

$\omega$ - \omega
$w$ - w

Циклическая частота колебаний, на сколько мне известно, указывается предложенной Вами буквой. Однако частота колебаний обозначается "латинской буквой дубль-вэ".

[Metford]

destiny
В рассматриваемом Вами случае энергия сохраняется. Вычислите от неё производную по времени и приравняйте нулю (координату $x$ при этом считайте некоторой функцией времени - неизвестной) - у Вас получится некое дифференциальное уравнение. По идее Вы должны его узнать - тогда сразу станет ясно, что имел в виду amon.

Да, и совсем хорошо было бы указывать у величин размерности, если уж дело дошло до подстановки числовых данных.

[destiny]

Metford в сообщении #1254352 писал(а):

destiny
В рассматриваемом Вами случае энергия сохраняется. Вычислите от неё производную по времени и приравняйте нулю (координату $x$ при этом считайте некоторой функцией времени - неизвестной) - у Вас получится некое дифференциальное уравнение. По идее Вы должны его узнать - тогда сразу станет ясно, что имел в виду amon.

Да, и совсем хорошо было бы указывать у величин размерности, если уж дело дошло до подстановки числовых данных.

Эх, если бы все было так просто.. Главная проблема состоит в том, что данную задачу нужно решить без производных, то есть мы их как бы не знаем. Следовательно узнать/угадать, что за дифференциальное уравнение мы тоже не можем.

[Metford]

Возможно, предполагается, что Вы знаете, как по выражению для энергии сразу выписать частоту малых колебаний. Если Вы этого не знаете, то путь, предложенный мной, Вам как раз поможет.

[destiny]

Metford в сообщении #1254356 писал(а):

Возможно, предполагается, что Вы знаете, как по выражению для энергии сразу выписать частоту малых колебаний. Если Вы этого не знаете, то путь, предложенный мной, Вам как раз поможет.

Как раз не знаем, точно нет. Значит тут обойти производные не выйдет.
Вы несомненно правы. Идея, которую вы подсказали, хорошо расписана при решении одной из задач, присутствующей в сборнике Гельфгата. Там так и начинается : "Пусть отклонение системы от положения равновесия описывается величиной x, а выражение для энергии будет - $W=Ax^2+B(x')^2$ ". Далее все элементарно находится и решается.
Благодарю всех за помощь!

[svv]

Чтобы остаться (почти) в рамках школьного курса физики.
Рассмотрим маятник без пружины. Для него $\omega_\text{м}^2=\frac{g}{\ell}$. Заменим силы, возвращающие маятник к положению равновесия, эквивалентной пружиной (чтобы было $\omega_\text{м}^2=\frac{k_\text{м}}{m}$). Её жесткость $k_\text{м}=\frac{mg}{\ell}$. Добавим пружину жесткости $k$. Суммарная жесткость двух пружин. Частота.

[Munin]

destiny в сообщении #1254351 писал(а):

Однако частота колебаний обозначается "латинской буквой дубль-вэ".

Никогда. Употребляются ещё буквы $f$ и $\nu,$ но для нециклической частоты. Ещё $k$ для пространственной.

[amon]

destiny в сообщении #1254351 писал(а):

И так, верен ли ход моих мыслей?

Всё-таки на одни грабли Вы наступили. В формуле $E=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}$ величины $x$ и $v$ связаны соотношением $v=\frac{\Delta x}{\Delta t},$ т.е. одна из них - координата, а другая - скорость вдоль этой координаты. У Вас же в кинетической энергии стоит скорость, а в потенциальной - угол. Что бы с ответом сошлось надо угол выразить через координату. Вообще, полезно прежде чем подставлять цифры, написать ответ в буквах. Тогда бы Вы сразу увидели, что с размерностью какая-то беда.