Три трубы

[Побережный Александр]

Имеется три бесконечные трубы радиуса R.
Какой радиус r самого маленького шарика, который одновременно касается все три трубы?

[Dmitriy40]

Не указано касаются ли трубы друг друга.
Что в задаче олимпиадного? Обычная школьная планиметрия. Радиус шарика будет равен разнице радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника и стороны этого треугольника. Перевод единиц измерения к $r$ и $R$ оставляю читателям.

[gris]

Вероятно, расположение труб относительно друг друга можно менять И задача состоит в подборе такого расположения, чтобы можно между ними поместить самый маленький касательный шарик.
Например, если оси труб параллельны, и трубы касаются друг друга, то минимальный шарик будет одного диаметра. А если оси труб попарно перпендикулярны?

[Dmitriy40]

Ах, вон оно что ...

gris в сообщении #1254104 писал(а):

А если оси труб попарно перпендикулярны?

В этом случае у меня радиус шарика в почти $2{,}7$ раза больше.
Поджалуй можно даже доказать что любое отступление от коллинеарности всех труб ведёт к увеличению радиуса ...

[gris]

А что есть труба? Она не может быть изогнутой?

[Dmitriy40]

А изогнутость не повлияет, минимум всегда будет в плоскости, а в ней кривизны труб нет. Правда при изгибе плоскость будет другой конечно.

[gris]

Я ищу подвох в условии

[grizzly]

gris в сообщении #1254116 писал(а):

Я ищу подвох в условии

А чего там искать? Вот Вам простейшая интерпретация условия: даны три цилиндра произвольного положения -- скажем, уравнения осей и радиусы $R$. Теперь нужно выразить $r$ через коэффициенты / параметры этих уравнений и $R$.

-- 08.10.2017, 21:36 --

Два частных случая Dmitriy40 уже решил

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1254120 писал(а):

Два частных случая Dmitriy40 уже решил

Интересно правильно ли в случае взаимно перпендикулярных труб, что-то воображение лагает и остаются сомнения.

[lel0lel]

Dmitriy40 в сообщении #1254124 писал(а):

Интересно правильно ли в случае взаимно перпендикулярных труб, что-то воображение лагает и остаются сомнения.

Для этого случая у меня получился такой ответ $r=R(\sqrt{2}-1)$. А в случае цилиндров с параллельными осями $r=R(2/\sqrt{3}-1)$. Отношение такое же как у Вас.

[Dmitriy40]

Да, формулы такие же.

[Мастак]

gris в сообщении #1254104 писал(а):

Вероятно, расположение труб относительно друг друга можно менять И задача состоит в подборе такого расположения, чтобы можно между ними поместить самый маленький касательный шарик.
Например, если оси труб параллельны, и трубы касаются друг друга, то минимальный шарик будет одного диаметра. А если оси труб попарно перпендикулярны?

Наверно надо в условие задачи добавить, что трубы попарно касаются друг друга в точках A B C, образуя треугольник со сторонами a b c, и что шарик касается всех труб, и т.д.
И что возможный касающийся всех труб шарик будет минимальный, если он "пролезает в окно" между трубами. И найти радиус этого шарика.

НО, если расположение труб произвольно, то само собой очевидно, что шарик будет минимальным, если попарно касающиеся трубы будут параллельны. И тогда из элементарной геометрии, например, "теоремы синусов" $\frac{R+r}{1/2}=\frac{2R}{\sqrt{3}/2}$, $r=R(2/\sqrt{3}-1)$.
И ничего олимпиадного в задаче нет.

[Побережный Александр]

Мастак в сообщении #1254713 писал(а):

Наверно надо в условие задачи добавить, что трубы попарно касаются друг друга в точках A B C, образуя треугольник со сторонами a b c, и что шарик касается всех труб, и т.д.
И что возможный касающийся всех труб шарик будет минимальный, если он "пролезает в окно" между трубами. И найти радиус этого шарика.

Именно такие условия я и предполагал сформулировать! Прошу простить за некорректность условия. Может даже не шарик рассматривать, а какую трубу минимального диаметра можно просунуть в отверстие между тремя заданными трубами.

Мне кажется, что вариант с попарно касающимися и параллельными трубами не будет верным.
Я исхожу из следующих рассуждений. Линиями касания параллельных труб будут три прямые.
Рассмотрим треугольную призму, где боковыми ребрами будут выступать отрезки этих прямых.
Если основания призмы относительно друг друга повернуть не небольшой угол, то центры боковых ребер сблизятся.
Если я ошибаюсь в рассуждениях, то где именно?

[TOTAL]

gris в сообщении #1254116 писал(а):

Я ищу подвох в условии

Трубы могуть проходить сквозь друг друга, радиус шарика сколь угодно мал. Такой подвох сойдет?

[gris]

Побережный Александр в сообщении #1256790 писал(а):

какую трубу минимального диаметра можно просунуть в отверстие между тремя заданными трубами

Наверное, максимального? Или имеется в виду минимальную из максимальных? Максимум берётся по фиксированной конфигурации, а минимум по допустимым конфигурациям.TOTAL, если трубы могут проходить через друг друга, то и шарик будет проходить сквозь них, и тогда касание шарика труб не будет иметь конфигурирующего значения.