Производные функции многих переменных

[qwe8013]

Задача следующая: есть функция $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, но она дана не на всём $\mathbb{R}^n$, а на конечном наборе точек. Нужно численно найти все её частные производные в каждой из точек.

Первое решение, которое приходит в голову - это интерполировать функцию в данной точке квадратичным полиномом ($n$ переменных) и взять производные этого полинома. Но дело в том, что при больших $n$ количество членов в квадратичном полиноме, если правильно помню $\sim n^2$, из-за чего придётся решать огромную СЛАУ для интерполяции, поэтому вопрос: есть ли способы попроще?

[Dmitriy40]

Если не ошибаюсь, то частную производную можно брать не по всей функции, а по сечению функции плоскостью. Тогда интерполировать надо не одновременно все $n$ переменных, а всего лишь одну, и по ней брать производную. И повторить это $n$ раз для каждой из переменных. Но все полиномы будут при этом обычной параболой $a_ix_i^2+b_ix_i+c_i, i=1..n$.

[qwe8013]

Dmitriy40
Так можно сделать с равномерной сеткой, у меня же точки расположены "хаотично".

[Dmitriy40]

Не понимаю причём здесь равномерность сетки. Она может влиять лишь на точность интерполяции, но не на саму возможность таковой. И тем более частная производная специально так определена что перекрёстные члены нулевые, в этом её отличие от полной производной, а значит производная в плоском сечении не отличается от частной по той же переменной.
Другое дело если Вы хотите уточнять частные производные по одной координате по частным производным по другим координатам, если где-то точки расположены слишком редко для получения требуемой точности, тогда да. Но это другая задача и по ней я ничего сказать не могу.

[qwe8013]

А если у меня только одна точка на данной координатной линии, то как аппроксимировать параболой?

[arseniiv]

Если я правильно понял, тогда, например, триангулируйте область и что-то на треугольниках попробуйте определить. Для этого уже должны быть известные методы — я слышал, есть интерес располагать детекторы нерегулярно, чтобы избавиться от алиасинга.

-- Пт окт 06, 2017 21:54:39 --

Ну да, собственно, вы о таких методах и спросили. Я пас.

[Dmitriy40]

qwe8013 в сообщении #1253770 писал(а):

А если у меня только одна точка на данной координатной линии, то как аппроксимировать параболой?

Не знаю.
С другой стороны, а чему тогда вообще равна частная производная, если функция определена лишь в одной точке? По моему производная тогда вообше не определена. Потому что нет приращения аргумента и нельзя взять предел отношения.

[qwe8013]

Dmitriy40
Точек много, но может случиться так, что на данной линии точка одна.

[Dmitriy40]

Угу, понял.
Ну тогда у меня только мысль постепенно интерполировать промежуточные точки на нужную линию по другим точкам. Насколько это будет точно и трудоёмко - вопрос.

[dsge]

qwe8013 в сообщении #1253744 писал(а):

Нужно численно найти все её частные производные в каждой из точек.

Если имеются ввиду производные 1-го порядка, то можно для каждой точки $x_i$ найти $n$ ближайших точек $x_j, j=1,...,n$ и составить $n$ линейных уравнений для разностей. Получим $n$ уравнений ($z_{i,l}- l$-ая координата точки $x_i$ в $\mathbb{R}^n$) относительно $n$ неизвестных $ \frac{\partial{f}(x_i)}{\partial{z}_{l}}$, $(l=1,\dots, n)$
$\frac{\partial{f(x_i)}}{\partial{z_{1}}}(z_{i,1}-z_{j,1}) +\cdots+\frac{\partial{f(x_i)}}{\partial{z}_{n}}(z_{i,n}-z_{j,n})=f(x_i)-f(x_j)$
$j=1,\dots,n$
Чтобы система была однозначно разрешимой надо только, чтобы соседние точки не лежали в одной гиперплоскости, но т.к. точки распределены "хаотично", то вероятность такого события нулевая.

[qwe8013]

В общем сделал как в первом посте: интерполировал многочленом 2 степени, соответствующую СЛАУ решил методом простых итераций. Решил для проверки вычислить значения многочлена в точках, по которым строилась интерполяция. При количестве переменных - около 20 вылезают большие ошибки, можно ли это как-то побороть?

[Dmitriy40]

Тут были темы Точность решения СЛАУ прямыми методами и Точность вычислений в BLAS.h, возможно найдёте там советы.

[ewert]

qwe8013 в сообщении #1253744 писал(а):

интерполировать функцию в данной точке квадратичным полиномом

А при чём тут квадратичность? Если речь только о первых производных, то достаточно линейного, т.е. симплекса.

[qwe8013]

ewert
Вы конечно правы, но рассмотрим картинку:

на ней изображены три точки. По ней видно, что можно обойтись и двумя точками, в зависимости от того, какую точку выберем получается совсем разный результат. Мне кажется, что в данном случае стоит построить параболу, она так сказать, точнее отобразит суть.

[qwe8013]

В принципе, для функции одной переменной можно сделать так:
пусть есть 3 точки
$ \begin{cases} y_0=f(x_0)\\ y_1=f(x_1)\\ y_2=f(x_2)\\ x_0<x_1<x_2 \end{cases} $
Введём производные по 2-м точкам:
$ \begin{cases} d_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\ d_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ d_2=\frac{y_2-y_0}{x_2-x_0} \end{cases} $
Можно построить квадратный интерполяционный полином по 3-м точкам выше:
$ p(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c $
его производная в точке $x_1$ равна
$ p'(x)=2ax_1+b $
где
$ \begin{cases} a=-\frac{x_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\cdot d_1+\frac{x_1}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)}\cdot d_2-\frac{x_2}{(x_0-x_2)(x_1-x_2)}\cdot d_0\\ b=\frac{x_2^2}{(x_0-x_2)(x_1-x_2)}\cdot d_0+\frac{x_0^2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\cdot d_1-\frac{x_1^2}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)}\cdot d_2 \end{cases} $
тогда производная в точке $x_1$ будет равна
$ p'(x_1)=-\frac{2x_1x_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\cdot d_1-\frac{2x_1x_2}{(x_0-x_2)(x_1-x_2)}\cdot d_0+\frac{x_1^2}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)}\cdot d_2+\frac{x_2^2}{(x_0-x_2)(x_1-x_2)}\cdot d_0+\frac{x_0^2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\cdot d_1= $


$ =d_0\cdot\frac{x_2^2-x_1x_2}{(x_0-x_2)(x_1-x_2)}+d_1\cdot\frac{x_0^2-2x_1x_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+d_2\cdot\frac{x_1^2}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)}= $

$ =-d_0\cdot\frac{x_2}{x_0-x_2}+d_1\cdot\frac{x_0}{x_0-x_2}+d_2\cdot\frac{x_1^2}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)} $
Надеюсь нигде не ошибся (сильно надеюсь). Может кто подскажет, есть ли подобное для функций большего числа переменных?