На смерть Воеводского

[kp9r4d]

Нкатлаб тут при чём, но не слишком. Зеркальная симметрия - физика или не? Окей, математическая физика. И даже самый урезанный её вариант адекватно можно сформулировать (без маханий руками) только как $\infty$-эквивалентность некоторых $(\infty,1)$-категорий.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1253181 писал(а):

Ну и то, что они сами себя заявляют, как "math, physics and philosophy", как бы намекает.

А мне и как раз. Я к философии вполне нормально отношусь, я же не физик. :3

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1253181 писал(а):

Что касается математики, то ещё большая неправда. Но вы, судя по этому форуму, интересуетесь различными вещами - в том числе и классическим анализом, где никакие категории и не валялись, а не только абстрактно-категорной математикой, так что я думаю, вы и сами это понимаете.

Это так, но я говорил про высокоуровневые результаты. Высокоуровневые - в смысле общности формулировок теорем и приложимости к различным контекстам, а не в смысле элитарности каких-то внутрематематических сословий, т.е. решение задачи Навье-Стокса - это низкоуровневый результат, но тем не менее очень мощный и очень нужный.

Зеркальная симметрия - это один из самых высокоуровневых сюжетов в математике, в физике, думаю, тоже, и даже урезанные его версии формулируются только на языке $(\infty,1)$-категорий.

[GOLOTOPAXPOP]

george66, а я ничего про матлогиков не говорил (наука интересная, если что, с моей стороны).
Про ncatlab я сказал лишь, что люди там по темпераменту логики, но не по основному виду деятельности. Точнее, там есть настоящие логики, и с ними как раз все ок, они занимаются интересными логическими вопросами (да тем же HoTT) и "мировых революций" в математике вершить не собираются.

Наверное, дело не столько в логике с HoTT даже (за исключением HoTT, таких глупостей от логиков я не слышал, кстати). Также глупо, наверное, звучит, когда алгебраисты пытаются сделать "мировую революцию" в анализе, или категорщики переписать всю алгебру на категорный язык, и обещают золотые горы. Та же "алгебраизация анализа" вполне хороша, как тема для исследований в алгебре, (алгебраический анализ, Д-модули и т.д.) но чистым аналитикам от неё не будет ни холодно, ни жарко.

[kp9r4d]

Хм, а вот аналог спектральной теоремы для существенно нормального оператора на гильбертовом пространстве - это анализ или алгебра? Рассказать, как его люди доказывают? (Спойлер: через К-homology)

[GOLOTOPAXPOP]

kp9r4d,
Гомологическая зеркальная симметрия, о которой вы говорите, это все-таки математика.

Цитата:

А мне и как раз. Я к философии вполне нормально отношусь, я же не физик. :3

Аналогично, просто я зато, чтобы не обманывать ни себя, ни других, что ваши (не ваши конкретно) результаты могут изменить всю математику. Когда начинаются разговоры про переопределения всех математических понятий и революции в "рабоче-крестьянских" (то есть не мета-математических) областях, жди жульничества.

Но, опять же, это верно и с обратной стороны, и в других математических областях. Помнится, Конн (прекрасный математик сам по себе) с соавторами обещал доказать гипотезу Римана с помощью некоммутативной геометрии. Ну зачем вот эта пошлость? Занимались бы некоммутативной геометрий, интересная область, у вас там были интересные результаты.

Цитата:

Это так, но я говорил про высокоуровневые результаты. Высокоуровневые - в смысле общности формулировок теорем и приложимости к различным контекстам, а не в смысле элитарности каких-то внутрематематических сословий, т.е. решение задачи Навье-Стокса - это низкоуровневый результат, но тем не менее очень мощный и очень нужный.

Зеркальная симметрия - это один из самых высокоуровневых сюжетов в математике, в физике, думаю, тоже, и даже урезанные его версии формулируются только на языке $(\infty,1)$-категорий.

А, извиняюсь, понял, что вы хотели сказать. Ну, все-таки не надо переоценивать то, насколько один даже прорывной результат, влияет на "различные контексты". Та же схемная техника Гротендика, по праву являющаяся одним из величайших достижений двадцатого века, не так проникла во всю математику, как хотелось бы. Даже внутри алгебраической геометрии многие вопросы относятся к классической АГ, либо к комплексно-аналитической, где схемный язык возникает редко.

-- 05.10.2017, 02:06 --

kp9r4d в сообщении #1253197 писал(а):

Хм, а вот аналог спектральной теоремы для существенно нормального оператора на гильбертовом пространстве - это анализ или алгебра? Рассказать, как его люди доказывают? (Спойлер: через К-homology)

В математике есть соприкосновения различных областей, но они не так часто происходят, поэтому нужно воспринимать их как дар, а не как данность. Миша Вербицкий, например, воспринимал как данность, в результате написал свой известный текст про то, "что должен знать каждый математик" с основным посылом, что все области математики едины, и каждый математик обязательно должен знать каждую из них - от ПДУ до алгебраической К-теории; а что обособлено от остального, то не математика вообще. Миша хороший математик, но тогда он явно потерял связь с реальностью, и даже сейчас признаваться не хочет (хотя в последней его программе для бакалавров он уже убеждает людей в том, что алгебраическую топологию учиться не надо). А посмотрите его работы - почти все есть комплексная геометрия, там и четверти из того, о чем он написал в своем манифесте, нет. Да там и серьезной схемной техники немного, если уж будем откровенны.

В области ПДУ, например, были похожие вещи, как h-принцип Громова, базирующийся на топологии гладких многообразий, прекрасный результат прекрасного математика, но революции не получилось. С другой стороны, я и не помню, чтобы и сам Громов обещал чего-то сверхъестественного.

[kp9r4d]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1253202 писал(а):

Гомологическая зеркальная симметрия, о которой вы говорите, это все-таки математика.

Ну не обязательно гомологическая, я про общую идею того, что любая алгебраическая конструкция в зеркале имеет отражённую симплектическую и наоборот. Т.е. глобально - соответсвие между всем алгебраическим и всем симплектическим. Но да, с категориями формулируется только гомологическая. Ну это просто потому, что остальная не формулируется вообще никак, а как сформулируется, то тоже с категориями.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1253202 писал(а):

А, извиняюсь, понял, что вы хотели сказать. Ну, все-таки не надо переоценивать то, насколько один даже прорывной результат, влияет на "различные контексты". Та же схемная техника Гротендика, по праву являющаяся одним из величайших достижений двадцатого века, не так проникла во всю математику, как хотелось бы. Даже внутри алгебраической геометрии многие вопросы относятся к классической АГ, либо к комплексно-аналитической, где схемный язык возникает редко.

Ну во всю геометрию точно, в большой кусок тч и ещё кое-куда. Так что вполне проникла, если не на уровне конкретных результатов, то на уровне идеологии. А хорошая идеология всегда интереснее каких-то там результатов в конце-концов ^^

-- 05.10.2017, 00:23 --

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1253202 писал(а):

Миша Вербицкий, например, воспринимал как данность, в результате написал свой известный текст про то, "что должен знать каждый математик" с основным посылом, что все области математики едины, и каждый математик обязательно должен знать каждую из них - от ПДУ до алгебраической К-теории; а что обособлено от остального, то не математика вообще.

Ну да, это очень распостранённая риторика, которая идёт чуть ли не от Пифагора. Просто слово "математика" уже слишком перегружено смыслами. Надо просто традицию, связанную с inf-категориями отделить и назвать как-то отдельным словом, желательно ещё, чтобы департаменты отдельные создавали под неё, и говорить, что она иногда имеет пересечения с математикой, а иногда с логикой, а иногда с физикой, а иногда с лингвистикой, а иногда с философией, но не является подразделом ни одной из них (логики же так сделали и им нормально). Заставлять насильно миксовать разные традиции и требовать от инф-категорщиков, чтобы они из своих методов выжимали результаты для диффуров идёт им в ущерб, просто методы и идеология размываются и становится ориентироваться сложнее намного, а так было бы нормально.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1253197 писал(а):

Хм, а вот аналог спектральной теоремы для существенно нормального оператора на гильбертовом пространстве - это анализ или алгебра? Рассказать, как его люди доказывают? (Спойлер: через К-homology)

А расскажите, действительно. Если будет длинно, то можно будет потом отделить.

[kp9r4d]

g______d
Ну у меня по жизни не очень всё с доказательствами, но я попробую, завтра вечером напишу скетч (вырезав, конечно, самую сложную часть). Но вообще стандартный сюжет, по "K-homology and extensions" должно гуглится.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1253236 писал(а):

Ну у меня по жизни не очень всё с доказательствами, но я попробую, завтра вечером напишу скетч (вырезав, конечно, самую сложную часть). Но вообще стандартный сюжет, по "K-homology and extensions" должно гуглится.

А, ну если вы имеете в виду BDF theorem, то я её знаю. Я просто не задумывался, почему её естественно называть аналогом спектральной теоремы, но таки согласен -- она действительно классифицирует нормальные операторы в $B(H)/K(H)$ с точностью до унитарной эквивалентности. Другое дело, что классификация оказывается существенно проще, чем в $B(H)$. По поводу K-homology and Ext -- они используются в оригинальном доказательстве, но топологический инвариант там -- по одному целому числу на каждую компоненту связности дополнения к спектру, и я не удивлюсь, если есть доказательство с существенно более простой топологической техникой. В случае нулевого индекса таких доказательств, действительно, довольно много.

[пианист]

george66 в сообщении #1252357 писал(а):

Возьмём некоторую поверхность $A$, будем считать её типом. Возьмём две её точки $a_1,a_2$ это элементы типа $A$. Пусть $p$ путь, соединяющий $a_1$ и $a_2$, будем считать его элементом соответствующего типа равенства $a_1=a_2$ и писать
$p:a_1=a_2$
Таким образом, точки считаются равными, если их можно соединить путём. Пусть даны два пути из $a_1$ в $a_2$
$p_1:a_1=a_2$
$p_2:a_1=a_2$
Мы можем и для них выписать тип равенства $p_1=p_2$, его элементами будут гомотопии путей
$\alpha:p_1=p_2$
Два пути считаются равными, если они гомотопны. Можно рассматривать и равенство гомотопий, элементами соответствующего типа будут "непрерывные деформации гомотопий друг в друга". Таким образом, язык теории типов с типом равенства, по Воеводскому, очень хорошо подходит, чтобы говорить о гомотопиях (а также формализовать соответствующие доказательства и проверять пруфчекером).

Очень интересно, спасибо.
А можно с "Возьмём некоторую поверхность $A$, будем считать её типом" немного поподробнее (ну или где почитать)?

[george66]

Ну как, HoTT
https://homotopytypetheory.org/book/
Сорок человек старались.

[kp9r4d]

g______d в сообщении #1253238 писал(а):

По поводу K-homology and Ext -- они используются в оригинальном доказательстве, но топологический инвариант там -- по одному целому числу на каждую компоненту связности дополнения к спектру, и я не удивлюсь, если есть доказательство с существенно более простой топологической техникой.

Ну я помню, но то что Ext двойственнен к $K$-теории, т.е. что есть точная последовательность
$0 \to ext(K^0(X),\mathbb{Z}) \to Ext(X) \to Hom(K^1(X),\mathbb{Z}) \to 0$
само по себе круто очень ведь (и существенно используется в доказательстве), более простые техники, даже если они есть, скорее всего ухудшили бы доказательство, а не улучшили.

[george66]

Прочитал ещё раз про "заполненные рога Кана" (определение высших группоидов). Рогатый Кан есть Сатана, коему они поклоняются.

[heptagon]

george66 в сообщении #1253568 писал(а):

Прочитал ещё раз про "заполненные рога Кана" (определение высших группоидов). Рогатый Кан есть Сатана, коему они поклоняются.

Уважаемый george66, а не подскажете, где можно прочитать про эти вещи? И кто это - "они"? Заранее спасибо!

[george66]

Да вот оно, логово поклонников рогатого Кана
https://ncatlab.org/nlab/show/infinity-groupoid
Вот тут есть список литературы
https://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory
Там в какой-то книге обзор разных определений.

Кан, кстати, придумал сопряжённые функторы. Так что мог потом заполнять рога в своё удовольствие, заработал.

[heptagon]

Спасибо, george66! А про поклонение сатане откуда у Вас информация? :)