Возможна ли укладка псевдоевкл. полупл. на проективную пл.?

[bayak]

Пусть дана верхняя комплексная полуплоскость, т.е. мы имеем такие $z=x+iy$, что $y>0$. Тогда автоматически мы имеем псевдоевклидову полуплоскость $(u,t)$, где $x=u-t$, $y=u+t$, причём $xy=u^2-t^2=\rho^2$, а $\tg\alpha=\left\lvert\frac{x}{y}\right\rvert=e^{2\psi}$, где $\rho,\psi$ соответственно длина и гиперболический угол радиус-вектора $(u,t)$.

Факторизуем теперь все вектора псевдоевклидовой плоскости, сравнивая по модулю 1 квадраты длин коллинеарных векторов. Предполагается, что после такой факторизации мы получим укладку псевдоевклидовой полуплоскости на проективную плоскость.

Если проективную плоскость представить сферой с отождествлёнными противоположными точками, то в угловых координатах мы получим "долготу" $\theta=\pi/2-2\alpha$ и "широту" $\varphi=\pi\rho^2$. Правильно я рассуждаю?

Конечно проще было бы уложить псевдоевклидову плоскость на тор, путём факторизации по модулю 1 координат комплексной плоскости, но этого мне сейчас не надо.

-- Чт окт 05, 2017 23:13:29 --

[arseniiv]

По-моему, действуя как вы, можно вообще чуть ли не что угодно во что угодно отобразить. Если вам нужно просто вложить аффинную плоскость (какая вообще разница, есть там какая-то билинейная форма или нет? зачем полу-?) в проективную, всё прекрасно делается без всяких комплексных чисел, см. определение аффинной карты на проективном пространстве.

[bayak]

arseniiv в сообщении #1253548 писал(а):

(какая вообще разница, есть там какая-то билинейная форма или нет? зачем полу-?)

Псевдоевклидова полу-плоскость в отличие от полной плоскости имеет однозначное отображение своих точек с полярными координатами, но в принципе на проективную плоскость можно отображать и всю плоскость. Что касается метрики, то она нужна для того, чтобы укладывать (наматывать) на проективную плоскость, представленную сферой с отождествлёнными противоположными точками. В принципе для этого можно взять и евклидову метрику, но псевдоевклидова хороша тем, что она согласована с факторизацией плоскости в тор - псевдоевклидов поворот сохраняет площадь тора.

Спасибо, конечно, за предложение о вложении, но вложения меня не интересуют.

[arseniiv]

А, вы всё о наматывании. Ох.

[bayak]

Хорошо, пусть график $y=kx$, где $k\in\mathbb{R}$, линеен. Тогда "широта" отображения намотки, представленная комплексным числом, равна $\exp(i\pi kx^2)$. Это Вам ничего не напоминает?

[arseniiv]

Ваша терминология весьма нестандартна, так что нет, ничего.

[bayak]

Я намекаю на квантовое действие.