неравенство

[daogiauvang]

Дано $a, b, c >0$ и $a+b+c=1$. Доказать, что $\sum \frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)} \leq 3$

[arqady]

$$3-\sum_{cyc}\frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)}=\sum_{cyc}\left(3a-\frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)}\right)=$$

$$=\sum_{cyc}\left(-\frac{(a-b)(5a^2+5ab+2b^2)}{a(2a+b)}\right)=\sum_{cyc}\left(4(a-b)-\frac{(a-b)(5a^2+5ab+2b^2)}{a(2a+b)}\right)=$$

$$=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(3a+2b)}{a(2a+b)}\geq0.$$

[daogiauvang]

3-й шаг не очень понятен.

[arqady]

Я добавил что-то. Посмотрите сейчас.

[Sergic Primazon]

daogiauvang в сообщении #1253241 писал(а):

Дано $a, b, c >0$ и $a+b+c=1$. Доказать, что $\sum \frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)} \leq 3$

$$F(x,y)=\dfrac{11x^3-2y^3}{x(2x+y)} \le 1+6\left(x-\dfrac{1}{3}\right)-3\left( y-\dfrac{1}{3}\right) \Leftrightarrow \dfrac{(x+2y)(x-y)^2}{x(2x+y)}\ge 0$$

$$F(a,b)+F(b,c)+F(c,a)\le 3$$