Найдите предел последовательности

[an2ancan]

Здравствуйте, помогите разобарться сос следующей задачей:
Найдите предел последовательности ($c_n$), определяемой рекуррентным соотношением $c_{n+1} = (1 -\frac{1}{n} ) \cdot c_n + \beta_n$ , где $( \beta_n )$ - любая последовательность со свойством $ n^2 \beta_n \rightarrow 0$ при $ n \rightarrow \infty $.

Если расписать первые несколько членов, получим:

$c_1 = c_1$

$c_2 = \frac{1}{2}c_1 + \beta_2$

$c_3 = \frac{1}{3}c_1 + \frac{2}{3} \beta_2 + \beta_3$

$c_4 = \frac{1}{4}c_1 + \frac{2}{4}\beta_2 + \frac{3}{4}\beta_3 + \beta_4$

$\vdots$

$c_n = \frac{1}{n}c_n + (\frac{2}{n}\beta_2 + \frac{3}{n}\beta_3 + \dots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-1} + \beta_n)$

Ясно, что часть $\frac{1}{n}c_n \rightarrow 0$, при $n \rightarrow \infty $, сложнее с выражением в скобках:

$ (\frac{2}{n}\beta_2 + \frac{3}{n}\beta_3 + \dots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-1} + \beta_n)$

Понятно что первые членны стремятся к 0 т.к. $n \rightarrow \infty $, и последниее к стремятся к 0, т.к. $ n^2 \beta_n \rightarrow 0$ при $ n \rightarrow \infty $. Интуиция подсказывает, что $\beta_n \rightarrow 0$ быстрее чем $n \rightarrow \infty $, исходя из условия $ n^2 \beta_n \rightarrow 0$ при $ n \rightarrow \infty $, но должно быть более строгое докозательство.

[DeBill]

Видимо, достаточно ограниченности $n^2\beta_n$:
если $\left\lvert \beta_n\right\rvert \leqslant \frac{C}{n^2}$,
то Ваша сумма оценивается (кус гармонического ряда оцените интегралом. Или по формуле Эйлера)...

[an2ancan]

DeBill в сообщении #1253033 писал(а):

Видимо, достаточно ограниченности $n^2\beta_n$:
если $\left\lvert \beta_n\right\rvert \leqslant \frac{C}{n^2}$,
то Ваша сумма оценивается (кус гармонического ряда оцените интегралом. Или по формуле Эйлера)...

Спасибо, проверьте пожалуйста ход рассуждений:

Т.к $ n^2 \beta_n \rightarrow 0 $, то есть такие $k$ и $C$, для которых выполняется условие, что для всех $n \geqslant k$ $\left\lvert n^2 \beta_n \right\rvert \leqslant C$, a значит $\left\lvert \beta_n\right\rvert \leqslant \frac{C}{n^2}$

тода попробуем отценить выражение в скобках:
$ \left\lvert (\frac{2}{n}\beta_2 + \frac{3}{n}\beta_3 + \dots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-1} + \beta_n) \right\rvert \leqslant \int_2^n \left\lvert \beta(x) \right\rvert \frac{x}{n}dx$

$\leqslant \int_2^n \frac{C}{nx}dx = \frac{C}{n} (\ln n - \ln 2) = 0$ при $n \rightarrow \infty$

В итоге получается, что исходная последовательность стремиться к 0

[ewert]

Да, с точностью до одного момента. Вводить $\beta(x)$ крайне невыгодно -- потребуются разные оговорки. Надо сначала просто оценить $\beta_i\leqslant\frac{C}{i^2}$ и уже полученную степенную сумму оценивать сверху через интеграл.

И, кстати, оговорка про $n\geqslant k$ совершенно излишня. Если оценка верна начиная с некоторого номера, то она верна и всюду, только с другим $C$.

Да, и ещё пределы в интеграле неаккуратны, надо бы подправить.

[an2ancan]

Цитата:

Вводить $\beta(x)$ крайне невыгодно -- потребуются разные оговорки. Надо сначала просто оценить $\beta_i\leqslant\frac{C}{i^2}$ и уже полученную степенную сумму оценивать сверху через интеграл.

Спасибо. Это верно. Тогда выходит как то-так:

$ \left\lvert (\frac{2}{n}\beta_2 + \frac{3}{n}\beta_3 + \dots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-1} + \beta_n) \right\rvert \leqslant \sum\limits_{2}^{n}(\left\lvert \frac{C}{i^2} \right\rvert \frac{i}{n})$ , а далее как написано выше.

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253302 писал(а):

а далее как написано выше.

С точностью до пределов интегрирования.

[an2ancan]

ewert в сообщении #1253303 писал(а):

an2ancan в сообщении #1253302 писал(а):

а далее как написано выше.

С точностью до пределов интегрирования.

Т.е. пределы не от $2$ до $n$? тогда возможно я ошибся в самом начале, написав:

$c_1 = c_1$

вернее было бы написать

$c_1 = \beta_1$,

тогда пределы интегрирования были бы $1$ до $n$

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253305 писал(а):

возможно я ошибся в самом начале, написав:

$c_1 = c_1$

Дело не в этом (хотя там действительно опечатка). Сколько у Вас слагаемых -- и какова длина промежутка интегрирования?...

И уж ещё одно:

an2ancan в сообщении #1252993 писал(а):

Ясно, что часть $\frac{1}{n}c_n \rightarrow 0$

Во-первых, это заранее совершенно не очевидно. Во-вторых, это, слава богу, тоже всего лишь опечатка.

[an2ancan]

ewert в сообщении #1253307 писал(а):

Дело не в этом. Сколько у Вас слагаемых -- и какова длина промежутка интегрирования?...

вроде бы слогаемых $n-1$, а предел интегрирования от $2$ до $n$

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253310 писал(а):

слогаемых $n-1$, а предел интегрирования от $2$ до $n$

Вот именно. Т.е. длина не совпадает с количеством слагаемых.

-- Чт окт 05, 2017 15:26:18 --

Да, кстати:

DeBill в сообщении #1253033 писал(а):

Видимо, достаточно ограниченности $n^2\beta_n$:
если $\left\lvert \beta_n\right\rvert \leqslant \frac{C}{n^2}$

Если уж говорить о достаточности, то достаточнее всего $\beta_n=o(n^{-1})$ (т.е. квадратик там был явно лишним).

[kotenok gav]

ewert в сообщении #1253313 писал(а):

длина не совпадает с количеством слагаемых.

Совпадает.

[ewert]

kotenok gav в сообщении #1253331 писал(а):

ewert в сообщении #1253313 писал(а):

длина не совпадает с количеством слагаемых.

Совпадает.

Т.е. Вы доказали, что дважды два -- это пять (и вообще любое число). Раз уж $n-1=n-2$.

[an2ancan]

тогда мой предел интегрирования должен быть от 2 до n+1?
Я прикинул на листке бумаге, и вроде понял о чем вы говорите. Еще раз, спасибо.

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253338 писал(а):

тогда мой предел интегрирования должен быть от 2 до n+1?

Это лучше -- тогда оценка действительно получается. Но, к сожалению, не в ту сторону.

[an2ancan]

Тогда я запутался.
Давайте для простоты возьмем последовательность $1,2,3...$, предположим на нужно посчитать сумму первых пяти членов (котрая, как мы знаем равна 15). Попробуем как-то отценить сумму, через интеграл $\int x dx$. Какие будут в таком случае пределы, от 0 до 5?
интеграл равен 12.5.