Семейство подмножеств $\mathbb N$

[g______d]

Пусть $B\subset 2^{\mathbb N}$ обладает таким свойством: если $X_1,X_2\in B$, то $X_1\cap X_2$ конечно. Доказать или опровергнуть, что $B$ не более чем счётно. Можно пользоваться аксиомой выбора, если понадобится.

[mihaild]

Нумеруем все ребра в бесконечном двоичном дереве, в качестве элементов $B$ берем множества чисел, являющихся номерами ребер в каком-нибудь бесконечном пути в этом дереве. Аксиома выбора вроде бы не нужна.
А есть хорошее решение с ней?

[g______d]

Да нет, в том варианте, который мне известен (для каждого вещественного числа возьмём последовательность рациональных, сходящихся к нему), тоже не нужна. И это та же самая конструкция по сути.