Что характеризует характеристический полином?

[Alexey Rodionov]

Рассмотрим линейное преобразование конечномерного векторного пространства в себя.
Его собственные числа, векторы и размерности собственных подпространств определяются независимо от базисов пространства образа и прообраза. А характеристический полином? Можно ли его определить для линейного оператора не привлекая базиса? По другому: он характеризует преобразование или его матрицу в том случае, когда база в образе и прообразе одна и таже?

[Xaositect]

Так он и так определяется независимо от базиса, разве нет? Тождественный оператор $I$ определяется независимо от базиса, определитель тоже, значит и $\det (A - \lambda I)$ хорошо определяется для линейного оператора $A$

[Alexey Rodionov]

Здесь $A$ не оператор, а его матрица, причем не любая из возможных, а соответствующая одной и той же базе в образе и прообразе. Если базы в образе и прообразе разные, то определитель изменится.

[Someone]

Alexey Rodionov в сообщении #1253166 писал(а):

Здесь $A$ не оператор, а его матрица, причем не любая из возможных, а соответствующая одной и той же базе в образе и прообразе.

Ну, дык, есть же теорема о независимости характеристического многочлена линейного оператора от выбора базиса.

[Xaositect]

Да, это для операторов на одном пространстве, так что рассматриваются матрицы в одном базисе. Для любого базиса определитель и характеристический многочлен будут одними и теми же.
А если базисы в образе и прообразе брать разные, то собственные числа матрицы и все остальное тоже меняется, инвариантным останется только ранг.

[svv]

$L$ — конечномерное векторное пространство, $n=\operatorname{dim}L$, оператор $\mathsf A: L\to L$.
Для любых $n$ векторов $v_1, \ldots, v_n\in L$
$\mathsf A v_1\wedge\ldots\wedge \mathsf A v_n=\alpha\; v_1\wedge\ldots\wedge v_n\;,$
где число $\alpha$ — константа для данного оператора $\mathsf A$. Это и есть его определитель.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Да, это для операторов на одном пространстве, так что рассматриваются матрицы в одном базисе.

Что мешает рассматривать их в разных базисах?

Цитата:

А если базисы в образе и прообразе брать разные, то собственные числа матрицы и все остальное тоже меняется

Не все остальное. В определениях собственных чисел и собственных векторов оператора базы не участвуют. А у меня операторная, а не матричная горячка.

-- 05.10.2017, 03:16 --

Alexey Rodionov в сообщении #1253072 писал(а):

Рассмотрим линейное преобразование конечномерного векторного пространства в себя.
Его собственные числа, векторы и размерности собственных подпространств определяются независимо от базисов пространства образа и прообраза. А характеристический полином? Можно ли его определить для линейного оператора не привлекая базиса? По другому: он характеризует преобразование или его матрицу в том случае, когда база в образе и прообразе одна и таже?

Похоже, последнее предложение вносит путаницу.
Пусть будет так:

Рассмотрим линейное преобразование конечномерного векторного пространства в себя.
Его собственные числа, векторы и размерности собственных подпространств определяются независимо от базисов пространства образа и прообраза. А характеристический полином? Можно ли его определить для линейного оператора не привлекая базиса?

[Xaositect]

Alexey Rodionov в сообщении #1253225 писал(а):

Не все остальное. В определениях собственных чисел и собственных векторов оператора базы не участвуют. А у меня операторная, а не матричная горячка.

В определении определителя оператора базисы тоже не обязательно участвуют. Один вариант такого определения дал svv.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

В определении определителя оператора базисы тоже не обязательно участвуют. Один вариант такого определения дал svv.

Он негуманно краток. Где там мой полином? Я перечитал "Империализм и эмпириокритицизм" и ничего по теме не нашел. Дайте ссылочку, пожалуйста.

[g______d]

Alexey Rodionov в сообщении #1253230 писал(а):

Где там мой полином?

svv в сообщении #1253221 писал(а):

число $\alpha$ — константа для данного оператора $\mathsf A$. Это и есть его определитель.

Xaositect в сообщении #1253087 писал(а):

Тождественный оператор $I$ определяется независимо от базиса, определитель тоже, значит и $\det (A - \lambda I)$ хорошо определяется для линейного оператора $A$

[ewert]

Xaositect в сообщении #1253173 писал(а):

А если базисы в образе и прообразе брать разные, то собственные числа матрицы

теряют смысл.

svv в сообщении #1253221 писал(а):

Для любых $n$ векторов $v_1, \ldots, v_n\in L$
$\mathsf A v_1\wedge\ldots\wedge \mathsf A v_n=\alpha\; v_1\wedge\ldots\wedge v_n\;,$

Это если есть понятие объёма. А оно -- дополнительно к понятию оператора.

[Xaositect]

ewert в сообщении #1253322 писал(а):

Это если есть понятие объёма. А оно -- дополнительно к понятию оператора.

Нет, тут никакой выделенной формы объема не нужно, сойдет любая.

[ewert]

Xaositect в сообщении #1253329 писал(а):

тут никакой выделенной формы объема не нужно, сойдет любая.

Но хоть какая-то нужна. А для понятия характеристического многочлена -- не нужно никакой.

[Xaositect]

ewert в сообщении #1253332 писал(а):

Но хоть какая-то нужна. А для понятия характеристического многочлена -- не нужно никакой.

Нет, в том то и дело, что раз можно взять любую, то не нужна никакая. $\Lambda^n V$ - одномерное пространство, и действие оператора на нем - это умножение на некоторое число. Вот это число и есть определитель.

[pogulyat_vyshel]

внешнее произведение ни какой дополнительной структуры в векторном пространстве не требует

Alexey Rodionov в сообщении #1253072 писал(а):

По другому: он характеризует преобразование или его матрицу в том случае, когда база в образе и прообразе одна и таже?

бывают несопряженные матрицы с одним и тем же характеристическим полиномом

-- 05.10.2017, 16:21 --

что то я засомневался в терминологии, сопряженные матрицы $A,\tilde A$ это такие, что $\tilde A=C^{-1}AC$ я это имел ввиду, если что