Какое число могла написать Юля?

[Ktina]

Юля написала на доске натуральное число, все десятичные цифры которого одинаковы, причём цифры 6 нет. Вася, увидев написанное Юлей число, заявил, что наибольшим натуральным делителем этого числа, не превышаюшим его квадратный корень, является число 6. Какое число могла написать Юля, если Вася никогда не врёт и отлично считает? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

[rockclimber]

222 и 444. 888 не подходит, потому что делится на 24.

[Ktina]

rockclimber
Разве 444 на 12 не делится?

[wrest]

Только $222$. Факторизация $222=2 \cdot 3 \cdot 37$, $\sqrt{222}<15$, $37>\sqrt{222}$
На $6$ делятся те которые делятся на $2$ и на $3$, то есть только четные.

Из четных чисел, состоящих из двоек, на $6$ делятся только те, которые состоят из $3,6,9...3n$ двоек, то есть количества двоек кратного трем (по признаку делимости на $3$).
Числа состоящие из $6,9$ и так далее двоек, делятся на число $111$, а число $111$ меньше квадратного корня из этих чисел (и больше $6$).
Так что из двоек подходящее число одно -- только $222$.

С 4-ками и восьмерками та же история, но $444=222 \cdot 2$, а значит делится на $12$ что больше $6$, а $888=444 \cdot 2$ и тоже делится на $12$ (и на $24$), что больше $6$ но меньше квадратного корня из них.

[Ktina]

wrest