Конечно или бесконечно?

[Ktina]

Конечно или бесконечно множество таких натуральных $x$, что $x$ - квадрат, $2x$ - избыточное число, а $3x$ - треугольное число?

[Andrey A]

$\sqrt{x}=1,10,...,x_{n+1}=10x_n-x_{n-1}$
Четные члены делятся на $10$, удвоенные четные члены делятся на $20$. Все кратные $20$-ти избыточные: даже для простого $p$
$\sigma\left ( 20p \right )=(p+1)\cdot 7\cdot 6=42(p+1)>2\cdot 20p.$ А тем более удвоенные квадраты.

(Оффтоп)

Без десятки жизни нет :)

Исправлено.

[Ktina]

Andrey A
А как же треугольные числа? Разве 30000, к примеру, является треугольным числом?

[Dmitriy40]

Ktina
$30000$ не входит в последовательность $x_{n+1}=10x_n-x_{n-1}, \; x_0=0, x_1=1$. При указанных условиях последовательность $3x^2$ состоит из треугольных чисел, а чётные члены (и некоторые нечётные) удовлетворяют и условию избыточности $2x^2$.

[Ktina]

Andrey A
Dmitriy40
Большое спасибо!