Разложение в ряд запаздывающего потенциала (Ландау-Лифшиц)

[alexei_kom]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Помогите пожалуйста разобраться в разложении в ряд запаздывающего потенциала (Теор. физика, Ландау-Лифшиц, т.2 пар. 65):



$\rho_{t-R/c}\equiv\rho(t-R(t)/c)$
$\Delta t=-\frac{R(t)}{c}$
(Я принебригаю знаками интегралов, которые не играют здесь никакой роли)

Я так понимаю, что авторы представляют приближение для фи в производных от $\rho(t)R(t)$ и следовательно я стал искать разложение с ними таким образом:
$\frac{d(\rho(t)R(t))}{dt}\approx\frac{\rho(t+\Delta t)-\rho(t)}{\Delta t}R(t)+\frac{dR(t)}{dt}\rho(t)$
получая верный результат в первом приближении:
$\rho(t+\Delta t)\approx\rho(t)+\frac{\Delta t}{R(t)}\frac{d(\rho(t)R(t))}{dt}-\frac{dR(t)}{dt} \frac{\rho(t)\Delta t}{R(t)}$

Дальше, я пытаюсь разобраться со второй производной:
$\frac{d^2 (\rho(t)R(t))}{dt^2} \approx\frac{\rho(t+2\Delta t)-2\rho(t+\Delta t)+\rho(t)}{\Delta t^2}R(t)+2 \frac{d\rho(t)}{dt}\frac{dR(t)}{dt}+\frac{d^2 R(t)}{dt^2} \rho(t)$

подставляя $\rho(t+2\Delta t)\approx\rho(t)+\frac{2\Delta t}{R(t)}\frac{d(\rho(t)R(t))}{dt}-2\frac{dR(t)}{dt} \frac{\rho(t)\Delta t}{R(t)}$
я никак не могу прийти к решению авторов. Я чувствую, что на верном пути, но что-то упускаю.

Буду рад любым наводкам!

Заранее благодарен!

Алексей

[svv]

В отличие от потенциалов Лиенара-Вихерта (63.3, 63.5), в выражениях для запаздывающих потенциалов (62.9, 62.10) величина $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$ под интегралом не зависит от времени. В этих формулах движение зарядов описывается не зависимостью от времени положения $\mathbf r'$ одного заряда, а зависимостью от времени плотности $\rho(\mathbf r')$ в любой точке $\mathbf r'$ пространства. Нет больше изменения координаты одного заряда со временем: заряды везде. (Немного утрируя: мы даже не понимаем, как движется это непрерывное распределение, мы только фиксируем изменение плотности в каждой точке.) Соответственно, $\mathbf r'$ — это (векторная) переменная интегрирования, пробегающая всевозможные значения, и от времени она не зависит.

Вам нужно разложить $\rho(\mathbf r', t')$ в ряд по степеням $t'-t=-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}=-\frac{R}{c}$ до второй включительно.

[alexei_kom]

svv в сообщении #1251685 писал(а):

В отличие от потенциалов Лиенара-Вихерта (63.3, 63.5), в выражениях для запаздывающих потенциалов (62.9, 62.10) величина $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$ под интегралом не зависит от времени. В этих формулах движение зарядов описывается не зависимостью от времени положения $\mathbf r'$ одного заряда, а зависимостью от времени плотности $\rho(\mathbf r')$ в любой точке $\mathbf r'$ пространства. Нет больше изменения координаты одного заряда со временем: заряды везде. (Немного утрируя: мы даже не понимаем, как движется это непрерывное распределение, мы только фиксируем изменение плотности в каждой точке.) Соответственно, $\mathbf r'$ — это (векторная) переменная интегрирования, пробегающая всевозможные значения, и от времени она не зависит.

Вам нужно разложить $\rho(\mathbf r', t')$ в ряд по степеням $t'-t=-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}=-\frac{R}{c}$ до второй включительно.

Спасибо Вам за ответ. Я тоже так думал пока не стал читать параграф дальше. Там говорится, что производная от R есть скорость заряда в данной точке.

[svv]

alexei_kom в сообщении #1251724 писал(а):

Там говорится, что производная от $R$ есть скорость заряда в данной точке.

Чтобы так говорить, надо от рассмотрения непрерывного распределения зарядов (как в начале §65), которое описывается функциями координат и времени $\rho, \mathbf j,$ перейти к рассмотрению движения одного точечного заряда $e$, которое описывается зависимостью положения заряда $\mathbf r'$ от времени. Чтобы обозначить этот переход, Ландау и Лифшиц после формулы (65.4) пишут:

Цитата:

Предположим сначала, что поле создаётся всего одним точечным зарядом $e$.

То есть надо внимательно следить за тем, где используется непрерывное описание (как в §62), а где дискретное (как в §63).

Хочу ещё уточнить, что скорость $\mathbf v$ точечного заряда равна не $\dot R$, а $-\dot{\mathbf R}$. Минус здесь потому, что вектор $\mathbf R$ определён как $\mathbf r-\mathbf r'$. Радиус-вектор точки наблюдения $\mathbf r$ не зависит от времени, а производная радиус-вектора $\mathbf r'$ заряда равна его скорости. Производная $R$ (расстояния до заряда) даёт только радиальную (лучевую) скорость заряда.

[alexei_kom]

svv в сообщении #1251743 писал(а):

alexei_kom в сообщении #1251724 писал(а):

Там говорится, что производная от $R$ есть скорость заряда в данной точке.

Чтобы так говорить, надо от рассмотрения непрерывного распределения зарядов (как в начале §65), которое описывается функциями координат и времени $\rho, \mathbf j,$ перейти к рассмотрению движения одного точечного заряда $e$, которое описывается зависимостью положения заряда $\mathbf r'$ от времени. Чтобы обозначить этот переход, Ландау и Лифшиц после формулы (65.4) пишут:

Цитата:

Предположим сначала, что поле создаётся всего одним точечным зарядом $e$.

То есть надо внимательно следить за тем, где используется непрерывное описание (как в §62), а где дискретное (как в §63).

Хочу ещё уточнить, что скорость $\mathbf v$ точечного заряда равна не $\dot R$, а $-\dot{\mathbf R}$. Минус здесь потому, что вектор $\mathbf R$ определён как $\mathbf r-\mathbf r'$. Радиус-вектор точки наблюдения $\mathbf r$ не зависит от времени, а производная радиус-вектора $\mathbf r'$ заряда равна его скорости. Производная $R$ (расстояния до заряда) даёт только радиальную (лучевую) скорость заряда.

Спасибо за разъяснение. Я кажется начинаю понимать. Вопрос такой:

Если мы рассмтриваем непрерывное распределение заряда то можно написать так для потенциала:
$\int\frac{\rho(t)dV}{R}-\frac{1}{c}\frac{d}{dt}\int\rho(t)dV+\frac{1}{2c^2}\int R\frac{d^2\rho(t)}{dt^2}dV$

Но как при переходе к точечному заряду R "становится под производную" если до этого он под ней не стоял?

Спасибо за помощь!

[svv]

Пока распределение непрерывное, $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$ может существовать только под интегралом (поскольку для каждой точки $\mathbf r'$ области интегрирования величина $R$ имеет своё значение), и не зависит от времени. Поэтому $R$ можно хоть внести под производную, хоть вынести за неё — безразлично. Внесём. Так как теперь производная берётся от всей подинтегральной функции, оператор производной можно вынести за знак интеграла. Так мы получаем формулу (65.3). Описание пока непрерывное.

Вот что делается потом (как обычно, авторы это пропускают, считая очевидным). Плотность заряда берётся в виде
$\rho(\mathbf r', t)=e\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))$
Здесь $\mathbf r'$ означает произвольную точку пространства, в которой мы хотим знать плотность. А $\mathbf r_0(t)$ означает ту единственную точку пространства, в которой заряд находится в момент $t$. (Обращайте внимание, где я пишу зависимость от времени, а где нет.) Если $\mathbf r'$ совпадает с $\mathbf r_0(t)$, аргумент дельта-функции равен нулю, и плотность даёт в этом месте «всплеск». В точках $\mathbf r'$, не совпадающих с $\mathbf r_0(t)$, плотность в момент $t$ равна нулю.

Подставляем эту плотность в (65.3), интегрируем:

$$\varphi(\mathbf r)=\int \frac{e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dV(\mathbf r') +\frac{1}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\int {|\mathbf r-\mathbf r'|}\,e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))\,dV(\mathbf r')=\frac{e}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}+\frac{e}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}$$

Результат интегрирования, естественно, уже не содержит переменной интегрирования $\mathbf r'$. И теперь в выражениях больше не фигурирует «любая точка $\mathbf r'$, в которой плотность заряда имеет какое-то значение (хотя бы и нулевое)». Остаётся только «единственная точка $\mathbf r_0(t)$, где заряд действительно есть».

После этой процедуры можно переобозначить $\mathbf r_0(t)=\mathbf r'(t)$, не забывая, что это уже другая $\mathbf r'$ (со смыслом как в §63). Раньше этого нельзя было сделать, возникли бы две разные по смыслу переменные, обозначенные одной буквой. Используя, как раньше, обозначения $\mathbf R(t)=\mathbf r-\mathbf r'(t), R(t)=|\mathbf R(t)|$, приходим к формуле (65.5).

[alexei_kom]

svv в сообщении #1251765 писал(а):

Пока распределение непрерывное, $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$ может существовать только под интегралом (поскольку для каждой точки $\mathbf r'$ области интегрирования величина $R$ имеет своё значение), и не зависит от времени. Поэтому $R$ можно хоть внести под производную, хоть вынести за неё — безразлично. Внесём. Так как теперь производная берётся от всей подинтегральной функции, оператор производной можно вынести за знак интеграла. Так мы получаем формулу (65.3). Описание пока непрерывное.

Вот что делается потом (как обычно, авторы это пропускают, считая очевидным). Плотность заряда берётся в виде
$\rho(\mathbf r', t)=e\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))$
Здесь $\mathbf r'$ означает произвольную точку пространства, в которой мы хотим знать плотность. А $\mathbf r_0(t)$ означает ту единственную точку пространства, в которой заряд находится в момент $t$. (Обращайте внимание, где я пишу зависимость от времени, а где нет.) Если $\mathbf r'$ совпадает с $\mathbf r_0(t)$, аргумент дельта-функции равен нулю, и плотность даёт в этом месте «всплеск». В точках $\mathbf r'$, не совпадающих с $\mathbf r_0(t)$, плотность в момент $t$ равна нулю.

Подставляем эту плотность в (65.3), интегрируем:

$$\varphi(\mathbf r)=\int \frac{e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dV(\mathbf r') +\frac{1}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\int {|\mathbf r-\mathbf r'|}\,e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))\,dV(\mathbf r')=\frac{e}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}+\frac{e}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}$$

Результат интегрирования, естественно, уже не содержит переменной интегрирования $\mathbf r'$. И теперь в выражениях больше не фигурирует «любая точка $\mathbf r'$, в которой плотность заряда имеет какое-то значение (хотя бы и нулевое)». Остаётся только «единственная точка $\mathbf r_0(t)$, где заряд действительно есть».

После этой процедуры можно переобозначить $\mathbf r_0(t)=\mathbf r'(t)$, не забывая, что это уже другая $\mathbf r'$ (со смыслом как в §63). Раньше этого нельзя было сделать, возникли бы две разные по смыслу переменные, обозначенные одной буквой. Используя, как раньше, обозначения $\mathbf R(t)=\mathbf r-\mathbf r'(t), R(t)=|\mathbf R(t)|$, приходим к формуле (65.5).

Я понимаю как делается переход посредством дельта функции. Давайте вынесем R из под производной (не из интеграла, конечно) в непрерывном распределении и сделаем переход к дельта функции. Я не понимаю как тогда R попадает под производную?

[svv]

alexei_kom, пожалуйста, не цитируйте всё сообщение, на которое отвечаете. Это у нас называется «избыточное цитирование» (пункт I-1.н Правил). Часто можно вообще обойтись без цитирования, а если оно всё-таки необходимо, выделите мышкой только нужный кусок текста и нажмите кнопку «Вставка».

alexei_kom в сообщении #1251779 писал(а):

Давайте вынесем R из под производной

Мы собираемся вынести производную за знак интеграла. Так как при этом $R$ будет под знаком интеграла, оно будет и под производной. Поэтому, чтобы получить нужный результат, не нужно выносить $R$ из-под производной — наоборот, надо её туда внести.
Уже в формуле (65.3) $R$ стоит под знаком производной.

-- Пт сен 29, 2017 17:05:25 --

Вот подробно:
$\varphi(\mathbf r)=\int\dfrac{\rho(\mathbf r', t-\frac R c)}{R}\,dV$, где $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$.
$\rho(\mathbf r', t+\Delta t)=\rho(\mathbf r', t)+\frac {\partial\rho(\mathbf r', t)}{\partial t}\Delta t+{\color{blue}\frac 1 2\frac {\partial^2\rho(\mathbf r', t)}{\partial t^2}(\Delta t)^2}+o((\Delta t)^2)$
Занимаемся только «синим» слагаемым. Подставим его в интеграл, полагая $\Delta t=-\frac R c$. Получим:

$$\int \frac 1 {2R}\frac {\partial^2\rho(\mathbf r', t)}{\partial t^2}\frac{R^2}{c^2}\,dV=\frac 1 {2c^2}\int R\frac {\partial^2\rho(\mathbf r', t)}{\partial t^2}\,dV=\frac 1 {2c^2}\int\frac {\partial^2}{\partial t^2}\left(R\rho(\mathbf r', t)\right)\,dV=\frac 1 {2c^2}\frac {d^2}{dt^2}\int R\rho(\mathbf r', t)\,dV$$

Какой переход непонятен?

[alexei_kom]

svv в сообщении #1251808 писал(а):

Какой переход непонятен?

Переход мне понятен. Мне непонятен переход в случае когда R не находится под производной:
$\int\frac{\rho(t)dV}{R}+\frac{1}{2c^2}\int R\frac{d^2\rho(t)}{dt^2}dV$

Ведь это законно не вносить R под производную? Тогда при переходе к точечному заряду у меня получается:
$$\varphi(\mathbf r)=\int \frac{e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dV(\mathbf r') +\frac{1}{2c^2} \int {|\mathbf r-\mathbf r'|}\,e\,\frac{\partial^2}{\partial t^2}\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))\,dV(\mathbf r')

Это отличается от:

svv в сообщении #1251765 писал(а):

Подставляем эту плотность в (65.3), интегрируем:

$$\varphi(\mathbf r)=\int \frac{e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dV(\mathbf r') +\frac{1}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\int {|\mathbf r-\mathbf r'|}\,e\,\delta(\mathbf r'-\mathbf r_0(t))\,dV(\mathbf r')=\frac{e}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}+\frac{e}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}$$

Или в таком случае переход делается как-то по-другому и всеравно приводит к должному результату?

svv в сообщении #1251765 писал(а):

$$\frac{e}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}+\frac{e}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}{|\mathbf r-\mathbf r_0(t)|}$$

[svv]

Законно не вносить. Но тогда Вы просто не достигнете цели. Под интегралом будет вторая производная дельта-функции, т.е. вместо того, чтобы распутывать узел, Вы его запутаете.

Вывод формулы состоит из действий, выполняемых в определённом порядке. Изменение порядка может уводить в сторону. Часто нужный порядок найти трудно, или очень трудно.

[alexei_kom]

svv в сообщении #1251828 писал(а):

Законно не вносить. Но тогда Вы просто не достигнете цели. Под интегралом будет вторая производная дельта-функции, т.е. вместо того, чтобы распутывать узел, Вы его запутаете.

Спасибо Вам еще раз за помощь!

Алексей

[wide]

svv в сообщении #1251828 писал(а):

Вывод формулы состоит из действий, выполняемых в определённом порядке. Изменение порядка может уводить в сторону. Часто нужный порядок найти трудно, или очень трудно.

Но ведь и разложение в ряд тоже состоит из определенных действий. Каждый член ряда представлен произведением значения производной функции на многочлен ее аргумента, если мы введем многочлен под производную, то это уже будет не разложение в ряд.
Давайте ещё раз посмотрим на эту формулу:

$\int\frac{\rho(t)}{R}dV-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\int\rho(t)dV+\frac{1}{2c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\int R\rho(t)dV$

Во втором члене нет $R$ в знаменателе, т.к. он был сокращен с $R$ в числителе, который появляется при разложении в ряд, и при этом он не вносится под производную, иначе как можно сократить производную $\frac{\partial}{\partial t}R$ с $R$? Если это так, то нет никаких причин в третьем члене вводить $R$ под производную, и он должен занулиться.

[svv]

wide
Я довольно подробно описал путь, которым можно получить формулу (65.5) ЛЛ2. (В моих выкладках ошибок нет?) Вы говорите, что слагаемое $\int R\frac{\partial^2\rho}{\partial t^2} dV$ равно нулю. Это серьёзное заявление: это значит, что формула (65.5) неверна. Я сам находил ошибки в «Теории поля» и не считаю, что авторы непогрешимы. Но Ваше рассуждение надо рассмотреть внимательно. Пожалуйста, опишите подробнее, почему третье слагаемое равно нулю — сходу я не понял.

svv в сообщении #1251765 писал(а):

Пока распределение непрерывное, $R$ ... не зависит от времени. Поэтому $R$ можно хоть внести под производную, хоть вынести за неё — безразлично.

... хоть в одном слагаемом внести, а в другом нет, если это поможет выводу — ради Бога.

[wide]

Как я понимаю, второе слагаемое зануляется т.к. интеграл плотности даёт полный заряд системы, и производная по времени от него равна нулю. С третьим слагаемым получится то же самое - вторая производная по времени от полного заряда системы тоже должна быть равна нулю.

[svv]

В третьем слагаемом под интегралом ещё и $R$. Если мы просто интегрируем плотность по всему пространству, мы получим полный заряд. С этим $R$ — нечто другое (было бы наивно думать, что впихивание $R$ под интеграл не изменит его значения).

Посмотрим на это $R$ как на весовой множитель. Он делает бОльшим вклад зарядов, далёких от точки наблюдения, и меньшим — вклад близких. Поэтому если часть заряда перетечёт, например, из далёких областей в близкие, вклад этой части увеличится благодаря $R$, и значение интеграла изменится.