Ортогональные полиномы с заданным весом

[mak1610]

Доброго времени суток!

Имеется следующий вопрос: для заданного наперед веса $W(x)$ найти/доказать существование/доказать отсутствие системы ортогональных полиномов $p(x)$. Как-то найти полезной информации не удалось. Что скажете/посоветуете почитать?

[svv]

Взять систему полиномов $x^0, x^1, x^2...$, определить скалярное произведение, используя нужный вес и «пропустить» их через процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

[mak1610]

Да, спасибо за Ваш ответ!

Возникает только один вопрос. Вот я хочу проделать это для веса $W(x) = \exp(-x^2/2)$ на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Берем полином $g_1(x) = x$ и для него не выполняется требование скалярного произведения, что

$\langle g_1(x), g_1(x) \rangle =\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \exp(-x^2/2) dx = 0$

только для $g_1(x) = 0$. Ну и в процессе ортогонализации возникают проблемы из-за деления на нуль. Что тогда делать?

[demolishka]

mak1610 в сообщении #1251440 писал(а):

Что тогда делать?

Еще раз перечитать процесс ортогонализации Равенства нулю длин базисных векторов там уж точно нет.

[Someone]

mak1610 в сообщении #1251440 писал(а):

не выполняется требование скалярного произведения, что

$\langle g_1(x), g_1(x) \rangle =\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \exp(-x^2/2) dx = 0$

Откуда взялось такое условие? Вы можете точно сформулировать условие ортогональности?

П. К. Суетин. Классические ортогональные многочлены. "Наука", Москва, 1976.

[mak1610]

Посмотрите определение скалярного произведения. Там сказано, что нулевая длина может быть только у нулевого вектора, т.е.

$\langle g(x), g(x) \rangle = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0.$

Но выше я привел пример веса, когда нулевая длина ну ненулевого вектора. Т.е. ввести скалярное произведение в его классическом определении не получится. В процессе ортогонализации мы делим вектор на длину вектора (которая и есть скалярное произведение), чтобы сделать систему ортонормированной. В данном случае поделить не получится. Вот и вопрос, что в таком случае делать?

[realeugene]

mak1610 в сообщении #1251479 писал(а):

когда нулевая длина ну ненулевого вектора

Вы интегрируете непрерывную всюду положительную функцию и получаете нуль?
Нарисуйте график подынтегральной функции.

[Someone]

mak1610 в сообщении #1251479 писал(а):

Но выше я привел пример веса, когда нулевая длина ну ненулевого вектора.

Простите, Вы определение ортонормированной системы векторов сформулировать можете? Давайте начнём с этого. Может быть, после правильной формулировки проблема рассосётся сама собой.

[mak1610]

Да, Вы совершенно правы. Забыл возвести в квадрат в интеграле . Вопрос решился сам собой. Благодарю всех за помощь!

[svv]

Погодите минутку... Вы поняли, что лишь скалярное произведение двух различных базисных векторов должно быть равно нулю?

[sergei1961]

То есть нетривиальных ограничений на функцию, чтобы она порождала систему ортогональных полиномов с равным ей весом,-нет? С любой разумной можно?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1251712 писал(а):

То есть нетривиальных ограничений на функцию, чтобы она порождала систему ортогональных полиномов с равным ей весом,-нет? С любой разумной можно?

Смотря что считать разумным. Она безусловно должна быть неотрицательной. Она должна быть суммируемой (т.е. интеграл от неё не должен равняться бесконечности, иначе дальше плохо выйдет). А вот насчёт её обращения в ноль -- там уже возможны варианты. С практической точки зрения разумно потребовать, например, чтобы она если и обращалась в ноль, то лишь на множестве нулевой меры (ещё практичнее -- лишь в отдельных точках).