Подобрать методом неполной индукции значение суммы

[bssgrad]

Задача из учебника:
"Методом неполной индукции угадайте значение суммы:
$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}$.
Либо я еще не достиг уровня математического мышления, когда с легкостью можно находить такие формулы просто посмотрев на результаты, либо имеется какая-то ошибка или неточность.
Получается:
$\frac{7}{12}+\frac{37}{60}+\frac{533}{840}+\frac{1627}{2520}+...$.

К сожалению, какой-либо стройной логики в этих числах я не увидел.
В интернете и других учебниках в основном рассматривается случай:
$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...$.
Формула этой суммы мне понятна, но я почему-то не могу связать ее со своей задачей и вывести для неё формулу.
Помогите разобраться, возможно ли это или имеется ошибка в самой задаче?
Мне очень нравится мой учебник, но часто попадаются ошибки именно в упражнениях.

[Sinoid]

Первое, что бросается в глаза, это каждое слагаемое этой суммы на раз распадается еще на два слагаемых. В подобных задачах этот прием часто используется, хотя, не уверен, что в этом случае это что-то даст.

[amon]

Как тут правильно заметили, $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},$ после чего ответ пишется мгновенно. Правда мне не понятно, при чем здесь неполная индукция

[Booker48]

amon
Мгновенно - для бесконечного ряда. Но для частичной суммы разве есть формула?

[amon]

Booker48 в сообщении #1251503 писал(а):

Но для частичной суммы разве есть формула?

Пусть $a_n=F_n-F_{n+1}.$ Чему равна сумма $\sum\limits_{1}^{5}a_n? $ Просто напишите несколько членов ряда в виде разностей. (Это аналог формулы Ньютона-Лейбница для конечных разностей. Есть масса подобных аналогий между рядами, интегралами и дифференциалами).

[Booker48]

amon
В условии вроде бы другая сумма. Суммирование только по нечётным $i$.

[teleglaz]

Booker48 в сообщении #1251503 писал(а):

Но для частичной суммы разве есть формула?

Наверняка есть. И выражается она через какие-нибудь дигамма-функции. По аналогии с конечной суммой гармонического ряда. Но уж "угадать" её с помощью, какой бы то ни было, индукции, я думаю нельзя. Да и для бесконечного ряда угадать, что ответ логарифм двух как-то тоже сложновато. Наверное, это просто опечатка. Но это не точно.

[RIP]

Судя по последнему слагаемому, скорее всего, имелось в виду именно $\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\dotsb$.

[teleglaz]

RIP в сообщении #1251539 писал(а):

Судя по последнему слагаемому, скорее всего, имелось в виду именно $\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\dotsb$.

Не факт. Смотря какое предпоследнее. Но скорее всего так и есть.

[sergei1961]

Школьный пример скорее всего, понятно. А первоначальную сумму, возникающую из двух первых слагаемых без повторения чисел в знаменателях, -можно элементарно просуммировать? Непонятно. Во всяком случае, представление в виде разности кажется бесполезным.

[bssgrad]

Мне самому интересно, даже если это ошибка, можно ли вывести формулу из этой суммы.
В виде сигма-обозначения сумма записывается вот так:

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2\cdot k(2\cdot k-1)}$$

.

[Someone]

bssgrad в сообщении #1251498 писал(а):

Методом неполной индукции угадайте

Метод неполной математической индукции состоит в том, что вычисляют значения нескольких членов последовательности, а потом, глядя на них, пытаются придумать подходящую формулу.

bssgrad в сообщении #1251498 писал(а):

значение суммы:
$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}$.
Либо я еще не достиг уровня математического мышления, когда с легкостью можно находить такие формулы просто посмотрев на результаты, либо имеется какая-то ошибка или неточность.
Получается:
$\frac{7}{12}+\frac{37}{60}+\frac{533}{840}+\frac{1627}{2520}+...$.

Вторая запись неправильная. Откуда взялись "плюсы"? Должны быть запятые: $\frac 7{12},\frac{37}{60},\frac{533}{840},\frac{1627}{2520},\ldots$ (я надеюсь, что в арифметике всё в порядке).

А Вы правильно условие списали? Там действительно нет $\frac 1{2\cdot 3}$? Может быть, в задании опечатка? Потому что действительно

teleglaz в сообщении #1251522 писал(а):

выражается она через какие-нибудь дигамма-функции.

Такое выражение угадать, мягко выражаясь, затруднительно.

[wrest]

bssgrad в сообщении #1252412 писал(а):

Мне самому интересно, даже если это ошибка, можно ли вывести формулу из этой суммы.
В виде сигма-обозначения сумма записывается вот так:

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2\cdot k(2\cdot k-1)}$$

Этот ряд выглядит так: $1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16...$
"Угадать" что это натуральный логарифм двойки можно, на мой взгляд, только вспомнив разложение натурального логарифма в ряд.

[sergei1961]

Это не ряд, а конечная сумма. Мне кажется, она выражается только через комбинацию гармонических чисел-частичных сумм гармонического ряда.

[wrest]

sergei1961 в сообщении #1252532 писал(а):

Мне кажется, она выражается только через комбинацию гармонических чисел-частичных сумм гармонического ряда.

Да, и постоянную Эйлера, как уже тут и писали.