Среднее по времени расстояние планеты от фокуса

[qweqwe2017]

Всем привет.
Собственно, в заголовке и есть всё условие задачи: найти среднее (по времени) расстояние $r$ планеты от фокуса эллипса, т.е. её орбиты.
Ясно, что $r = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}r(t)dt$.
Также $\dot{S} = \frac{1}{2}r^2\dot{\varphi}$.
С другой стороны, $\dot{S} = \frac{a^2\pi\sqrt{1-e^2}}{T}$.
Тогда получаем интеграл $\frac{1}{2a^2\pi\sqrt{1-e^2}}\int\limits_{0}^{2\pi}r^3(t)d\varphi$
Нужно перейти к интегрированию по углу эксцентрической аномалии $E$, но как это сделать, имея угол $\varphi$ ? Ведь углы $\varphi$ и $E$ связаны только через функции косинуса, а именно:
$r\cos\varphi = a( \cos(E) -e)$, т.е. возникают трудности, как выразить $в\varphi$ через $dE$.
Спасибо, если подтолкнёте к верному рассуждению или укажете ошибки в приведённом.

[Pphantom]

qweqwe2017 в сообщении #1251076 писал(а):

Нужно перейти к интегрированию по углу эксцентрической аномалии $E$

Зачем?

[qweqwe2017]

Pphantom, ну, хорошо, а другие варианты? Я не вижу.
Да и просто в условии задачи, к тому же, указание, что через $E$ красивее будет интеграл, т.е. легче выражаться и считаться

[Pphantom]

А, нет, извините, я среагировал на предыдущее странное действие (после которого, впрочем, переход к эксцентрической аномалии действительно неудобен). Перейти действительно стоит, но только сразу, не нужно вытаскивать $r^3$.

Искомая связь выглядит так:

$$ \tg\frac{\varphi}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \, \tg\frac{E}{2} $$

[qweqwe2017]

Pphantom, так $r^3$ вытаскивается лишь для того, чтобы $dt$ на $d\varphi$ заменить. Честно говоря, не понимаю, как сразу перейти к $dE$

[Pphantom]

Так ведь уравнение Кеплера есть, оно позволяет сразу же перейти от интегрирования по времени к интегрированию по эксцентрической аномалии.

[qweqwe2017]

Pphantom, и правда, спасибо большое, всё получилось!