шар и 5 точек

[daogiauvang]

Дано шар и в нем 5 точек. Доказать, что существует плоскость, проходящая через центр шара, которая делит шар на 2 части, чтобы в одной части более 4 точек.

[Dmitriy40]

daogiauvang в сообщении #1250170 писал(а):

более 4 точек

Т.е. ровно все 5? Это очевидно неверно: впишем в шар квадратную пирамиду с высотой больше радиуса шара, центр шара будет внутри неё, а значит любая плоскость рассечёт пирамиду на части, т.е. минимум одна точка окажется по другую сторону плоскости от остальных.
А со вписанным октаэдром не получится отсечь даже и одну точку, непременно будет не менее 2.
Предполагаем что плоскость через точки проходить не может.

[daogiauvang]

Я неправильно написал условия. Не менее 4 точек.

[Dmitriy40]

Вписанный октаэдр. Такой плоскости вроде бы нет.

[Sender]

Dmitriy40, что-то у меня не хватило пальцев на руке, чтобы счесть вершины октаэдра.
Или вы имели в виду треугольную бипирамиду?

[Руст]

Пусть центр имеет координаты (0,0,...,0) (шар любой размерности). Точки имеют попарно противоположной размерности.
Тогда для любого линейного функционала от координат, определяющегося с какой стороны точки, знаки будут противоположны.
Стало быть они лежат в разных сторонах. Поэтому с одной стороны могут быть не более n-[n/2] точек.

[Dmitriy40]

Sender в сообщении #1250190 писал(а):

Или вы имели в виду треугольную бипирамиду?

Да, именно её. Ну запутался чуток в названиях.

[DeBill]

Если под "в одной части" понимать ЗАМКНУТОЕ полупространство, то - верно:
проведем через пару точек и центр плоскость; в одном из полупространств не менее двух точек - что и надо.
Также верно и для 5 точек "общего положения": та же конструкция плюс "пошевелим"....