Первообразная

[StaticZero]

ewert в сообщении #1250370 писал(а):

Нельзя. Т.е. после "вынесения" получится тоже о-маленькое, но другое

Тогда я не понял. Как комплексный интеграл

$$ \int \limits_z^{z + \Delta z} o(1) \ \mathrm dz $$

превращается в вещественное число $|\Delta z|$?

[ewert]

StaticZero в сообщении #1250387 писал(а):

ewert в сообщении #1250370 писал(а):

Нельзя. Т.е. после "вынесения" получится тоже о-маленькое, но другое

Тогда я не понял. Как комплексный интеграл

$$ \int \limits_z^{z + \Delta z} o(1) \ \mathrm dz $$

превращается в вещественное число $|\Delta z|$?

Я же сказал, что запись была не вполне аккуратной. Надо было примерно так: если $f(z)=f(z_0)+\varepsilon(z)$, где $\varepsilon(z)=o(1)$ при $z\to z_0$, то

$$\left|\int\limits_{z_0}^{z_0+\Delta z}\varepsilon(z)\,dz\right|\leqslant\max\limits_{|z-z_0|\leqslant|\Delta z|}|\varepsilon(z)|\cdot|\Delta z|\quad\Rightarrow\quad\int\limits_{z_0}^{z_0+\Delta z}\varepsilon(z)\,dz=o(\Delta z).$$

Но обычно никто к такому занудству не прибегает, подразумевая его в уме.

[pogulyat_vyshel]

ewert в сообщении #1250385 писал(а):

Во-первых, непрерывность производных тут не обязательна.

ну это надо ТС спросить, какие условия накладываются на $f$. Регулярность это и $C^\infty$ может означать.

ewert в сообщении #1250385 писал(а):

то называется теоремой не Стокса,

есть общая теорема Стокса, а как эти частные случаи из старых учебников называются мне как-то до лампочки

ewert в сообщении #1250385 писал(а):

И кстати: выбирая путь "в виде двух отрезков", к вещественной теореме Барроу задачу никак не сведёшь. Можно формально свести, взяв один отрезок, соединяющий точки, но и тут засада: производная получится всего лишь по Гато, а нужно по Фреше.

в том предположении, что сделал я, засад не будет

[ewert]

pogulyat_vyshel в сообщении #1250394 писал(а):

в том предположении, что сделал я, засад не будет

Это в предположении, что Вы что-то сделали. Однако насчёт дифференцируемости по комплексной переменной Вы толком ничего так и не сказали.

[pogulyat_vyshel]

сказал

[ewert]

pogulyat_vyshel в сообщении #1250410 писал(а):

сказал

Что?

Что дифференцируемость по комплексной переменной следует из дифференцируемости по паре вещественных. А это заведомо неверно.

[pogulyat_vyshel]

ewert в сообщении #1250462 писал(а):

Что?

Что дифференцируемость по комплексной переменной следует из дифференцируемости по паре вещественных.

ewert в сообщении #1250396 писал(а):

Однако насчёт дифференцируемости по комплексной переменной Вы толком ничего так и не сказали.

pogulyat_vyshel в сообщении #1250380 писал(а):

вещественно дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана

мнда, запущенный случай

[ewert]

pogulyat_vyshel в сообщении #1250469 писал(а):

мнда, запущенный случай

Мда, запущенный. Есть разные определения регулярности/голоморфности/аналитичности. Условия Коши-Римана ни разу и ни к каким исходным определениям не относятся. Это всегда лишь следствия.

[StaticZero]

Теперь, вроде, понял. Пусть в $D$ зафиксирована точка $z$. Выберем в $D$ точку $z + \Delta z$, достаточно близкую к $z$, чтобы их можно было соединить прямолинейным отрезком, полностью лежащим в $D$. Так как $f$ регулярна, можно написать для точки $w$ в $D$

$$ f(w) = f(z) + A (w - z) + o(|w - z|), $$

подстановка в интеграл даёт

$$\begin{align*} \Phi(z + \Delta z) - \Phi(z) &= \int \limits_{z}^{z + \Delta z} f(w) \ \mathrm dw = \int \limits_{z}^{z + \Delta z} f(z) \ \mathrm dw + \int \limits_{z}^{z + \Delta z} A (w - z) \ \mathrm dw + \int \limits_{z}^{z + \Delta z} o(|w - z|) \ \mathrm dw = \\&= f(z) \Delta z + A \dfrac{\Delta z^2}{2} + I, \end{align*}$$

где $|I| \leqslant |\Delta z| \max o(|w - z|)$, где максимум ищется на прямолинейном отрезке, соединяющем $z + \Delta z$ и $z$. Этого достаточно, чтобы написать $|I| = o(|\Delta z|)$, откуда очевидно и $I = o(|\Delta z|)$, как комплексное число, потому как

$$ \lim \limits_{\Delta z \to 0} \dfrac{I}{\Delta z} = \lim \limits_{\Delta z \to 0} \dfrac{|I| e^{i \varphi}}{|\Delta z| e^{i \psi}} = \lim \limits_{|\Delta z| \to 0} \left|\dfrac{I}{\Delta z}\right| e^{i (\varphi - \psi)} = 0 \quad \text{независимо от} \ \psi \ \text{и} \ \varphi. $$

Окончательно имеем

$$ \Phi(z + \Delta z) - \Phi(z) = f(z) \Delta z + o(|\Delta z|), $$

откуда следует всё, что нужно.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1257945 писал(а):

Так как $f$ регулярна, можно написать для точки $w$ в $D$

$$ f(w) = f(z) + A (w - z) + o(|w - z|), $$

Т.к. $f$ непрерывна, достаточно написать $f(w)=f(z)+o(1)$; тогда

$$\Phi(z + \Delta z) - \Phi(z) &= \int \limits_{z}^{z+\Delta z} f(w)\,dw = \int \limits_{z}^{z+\Delta z} f(z)\,dw + \int \limits_{z}^{z+\Delta z}o(1)\,dw = f(z)\,\Delta z+o(|\Delta z|)$$

и всё. Регулярность же нужна вовсе не для оценок, а лишь для того, чтобы интеграл с переменным верхним пределом вообще имел смысл, т.е. не зависел бы от выбора пути (и, в частности, чтобы последний маленький участок пути можно было заменить на прямолинейный отрезок).