Базис линейного пространства и размерность

[ewert]

art_kg в сообщении #1250285 писал(а):

Решив ее получилось решение $c_4=c_2=0$
Но как бы всё равно не могу утверждать, что при других $x$ будет такое же решение или могу?)

Не можете, но и не должны. Вспомните формальное определение линейной независимости. Что из чего должно следовать.

А ещё лучше -- забыть про четвёртые степени и призадуматься над произвольными. Линейная независимость вообще всех чистых степеней мгновенно следует из того деццкого (т.е. школьного) факта, что у многочлена не может быть слишком много корней. Т.е. из теоремы Безу.

[art_kg]

Спасибо. Я кажется понял свою ошибку было утверждение что равенство справедливо для всех $x$, поэтому я мог взять любые два, создать систему найти коэффициенты и смело заявить что эти коэффициенты подходят при всех $x$.

Mikhail_K в сообщении #1250086 писал(а):

Для ненулевых $x$ Вы можете разделить обе части на $x$ и посмотреть, например, куда стремится левая часть при $x\to +\infty$ (и как это зависит от коэффициентов $c_1$, $c_3$) и куда правая часть. И раз эти части равны, то...

А вот этот способ, получается после разделения обе части на $x$ нужно посчитать предел последовательности для левой части, а как определить зависимость от коэффициентов?

[Mikhail_K]

art_kg в сообщении #1250312 писал(а):

Я кажется понял свою ошибку было утверждение что равенство справедливо для всех $x$, поэтому я мог взять любые два, создать систему найти коэффициенты и смело заявить что эти коэффициенты подходят при всех $x$.

Нет, не могли. Если Вы взяли какие-то два значения $x$ и видите, что эти коэффициенты подходят для этих значений $x$, то откуда же у Вас уверенность, что они подойдут для всех?

Но, во-первых, такая уверенность Вам просто не нужна, Вы и без этого можете сделать вывод о линейной независимости

ewert в сообщении #1250298 писал(а):

Не можете, но и не должны. Вспомните формальное определение линейной независимости. Что из чего должно следовать.

а во-вторых, если Вы всё-таки хотите иметь такую уверенность, то придётся выполнить дополнительное рассуждение (хотя и очень простое):

Mikhail_K в сообщении #1250291 писал(а):

Но если Вам хочется доказать, что и наоборот, если $c_4=c_2=0$, то $c_4x^4+c_2x^2=0$ для всех $x$ (а не только для $x=1,\,2$), то это легко сделать. Подставьте $c_4=c_2=0$ в $c_4x^4+c_2x^2$ и увидите.

[ewert]

art_kg в сообщении #1250312 писал(а):

после разделения обе части на $x$ нужно посчитать предел последовательности для левой части, а как определить зависимость от коэффициентов?

Во-первых, не последовательности, а функции. Во-вторых, "зависимость от коэффициентов" (зависимость чего?...) тут не при чём. В-третьих, делить выгоднее не на икс, а на его старшую степень -- тогда сразу получается, что старший коэффициент может быть только нулём.

Это один из стандартных способов доказательства. Другой стандартный -- с помощью дифференцирования (но там понадобится индукция). Третий (и самый элементарный, не требующий никакого матанализа) -- через разложение на множители согласно Безу. Четвёртый, для эстетов -- через определитель Вандермонда; но это уродство, если только этот определитель не нужен сам по себе для других целей.

[Mikhail_K]

На $x$ стоило делить в предыдущем примере, где $c_1x+c_3x^3$. Но там как-то разобрались и без линейной независимости. Доказывая линейную независимость $x^2$ и $x^4$, конечно, нужно делить $c_2x^2+c_4x^4=0$ на старшую степень $x^2$; при этом мы получим равенство, которое должно быть справедливо для всех ненулевых $x$, и можно будет посмотреть, куда стремится левая и правая часть при $x\to +\infty$. Предел левой части там будет зависеть от $c_4$ и от $c_2$. Раз левая и правая части равны, предел у них должен быть один и тот же; отсюда можно будет сделать вывод относительно коэффициентов $c_2$, $c_4$.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1250352 писал(а):

На $x$ стоило делить в предыдущем примере, где $c_1x+c_3x^3$. Но там как-то разобрались и без линейной независимости.

Кстати, напрасно. Поскольку линейная независимость всё равно нужна (и при этом чётность степеней не имеет никакого значения), а из неё нужное утверждение следует мгновенно.

Mikhail_K в сообщении #1250352 писал(а):

отсюда можно будет сделать вывод относительно коэффициентов $c_2$, $c_4$.

Это малоперспективно. А что делать с шестым, восьмым и т.д.?

Всё гораздо проще. Предположим, $a_n$ старший коэффициент, т.е. что он не равен нулю, а все следующие равны. Делим многочлен на $x^n$, устремляем икс на бесконечность и в пределе получаем $a_n=0$; противоречие.

[art_kg]

ewert в сообщении #1250298 писал(а):

А ещё лучше -- забыть про четвёртые степени и призадуматься над произвольными. Линейная независимость вообще всех чистых степеней мгновенно следует из того деццкого (т.е. школьного) факта, что у многочлена не может быть слишком много корней. Т.е. из теоремы Безу.

То есть $n$ многочлен должен иметь $n$ корней по Безу, которые мы получим после разложения на множители. Но мы рассматривали многочлен для всех $x$, отсюда следует что нам нужно было иметь больше чем n корней для многочлена, что возможно только в случае нулевых коэффициентов. А если коэффициенты равны нулю, то мы получаем базисное разложение нулевого вектора(справа как я понимаю вектор), что и говорит нам о линейной независимости. Так можно?)

[ewert]

art_kg в сообщении #1250371 писал(а):

То есть $n$ многочлен должен иметь $n$ корней по Безу, которые мы получим после разложения на множители. Но мы рассматривали многочлен для всех $x$, отсюда следует что нам нужно было иметь больше чем n корней для многочлена, что возможно только в случае нулевых коэффициентов. А если коэффициенты равны нулю, то мы получаем базисное разложение нулевого вектора(справа как я понимаю вектор), что и говорит нам о линейной независимости. Так можно?)

Буквально так -- нельзя. Начнём с того, что корней может быть и меньше. Кроме того, надо аккуратнее про ненулевые коэффициенты. Надо сказать, что после каждого вынесения за скобки старший коэффициент будет сохраняться.

[art_kg]

ewert в сообщении #1250377 писал(а):

Буквально так -- нельзя. Начнём с того, что корней может быть и меньше. Кроме того, надо аккуратнее про ненулевые коэффициенты. Надо сказать, что после каждого вынесения за скобки старший коэффициент будет сохраняться.

Про неточность про количество корней я понял. А вот зачем нам сохранение старшего коэффициента пока не пойму.
Погуглил, вот нашел пример из учебника
http://lib.alnam.ru/book_odf.php?id=58
Пример 1. Там в более простой форме доказывается линейная независимость многочлена без упоминания старшего коэффициента)

[mihailm]

Большая часть того что здесь написано (и подозреваю еще будет написано, страниц так десять) никакого отношения к базисам и размерностям не имеет (что как я понимаю сейчас изучается и разбирается). Правильнее было бы здесь определить многочлен как формальную сумму, а четный многочлен как многочлен у которого соответствующие ненулевые коэффициенты. Тогда вся эта писанина про зависимость/независимость не имела бы ровным счетом никакого смысла, более того с точки зрения линейной алгебры это просто шелуха.

[art_kg]

Ну как же без линейной независимости базис не получить, ну как я пока понимаю.
На счет шелухи, ну наверно вы правы конечно, но не стоит забывать, что основе такой шелухи строится вся линейная алгебра. В любом случае я крайне благодарен всем отписавшимся за помощь, много нового узнал.

[mihailm]

Запросто, говорим, что одночлены базис и все. Ничего в линейной алгебре не строится из этих (важных, но не в алгебре) соображений. Их можно полностью пропустить.

[ewert]

mihailm в сообщении #1250442 писал(а):

Запросто, говорим, что одночлены базис и все.

И всё, ни хрена не выйдет. Поскольку многочлены суть частный случай функций, а для функций как таковых есть вполне определённое определение зависимости/независимости; соотв., независимость одночленов нуждается в формальном д-ве.

mihailm в сообщении #1250437 писал(а):

Правильнее было бы здесь определить многочлен как формальную сумму, а четный многочлен как многочлен у которого соответствующие ненулевые коэффициенты.

Первое -- естественно, а вот второе -- никуда не годится. Опять же потому, что чётность многочленов есть не более чем частный случай чётности функций вообще.

art_kg в сообщении #1250414 писал(а):

Там в более простой форме доказывается линейная независимость многочлена без упоминания старшего коэффициента)

Я не в сильном восторге от того текста. По-моему, там слова не в совсем удачном порядке расставлены. Но формально придраться (если слова чуть подкорректировать) не к чему.

[mihailm]

ewert в сообщении #1250454 писал(а):

mihailm в сообщении #1250442 писал(а):

Запросто, говорим, что одночлены базис и все.

И всё, ни хрена не выйдет. Поскольку многочлены суть частный случай функций, а для функций как таковых есть вполне определённое определение зависимости/независимости; соотв., независимость одночленов нуждается в формальном д-ве...

Не у меня многочлены это многочлены и ни какие не функции. Ни фига эти функции в линейной алгебре не нужны.
А "вполне определенное определение зависимости/независимости" функций практически не нужно до дифуров.
Вы название темы читали??? Зачем матаном мозги пудрить студентам в линейке, они и так там плохо соображают.

[NDP]

mihailm в сообщении #1250460 писал(а):

Зачем матаном мозги пудрить студентам в линейке, они и так там плохо соображают.

Пральна. Равенство многочленов - формальное равенство к-тов, вот и вся задача. Но так кто же это знал. И кто бы еще вспомнил, что нолик справа - это многочлен. С нулевыми, стало быть, к-тами.
Это не к вам, если что.

А ТС хочется посоветовать сперва читать книжки или что-то еще, а потом писать на форум, а не в обратном порядке. Глядишь, и писать бы не пришлось.