Базис линейного пространства и размерность

[Mikhail_K]

NDP в сообщении #1250095 писал(а):

Только зачем это все, если все гораздо проще?

Можно ещё вручную разложить левую часть на множители и убедиться, что равенство нулю выполняется не для всех $x$.
Не знаю, мне все три подхода представляются примерно одинаковыми по сложности.

[art_kg]

Mikhail_K в сообщении #1250086 писал(а):

Ну вот пусть у Вас $c_3x^3+c_1x=0$ для всех $x$.

Для этого недостаточно такого:
$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1 = c_4 \cdot (-x)^4 + c_3 \cdot (-x)^3 + c_2 \cdot (-x)^2 + c_1 \cdot (-x)^1$
$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1 - c_4 \cdot (-x)^4 - c_3 \cdot (-x)^3 - c_2 \cdot (-x)^2 - c_1 \cdot (-x)^1 = 0$$
$ c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x^1 = 0$
То есть мы показываем, что для того что бы выполнялось $f(x) = f(-x)$ для многочлена четвертой степени, необходимо что бы выполнялось $ c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x^1 = 0$
После возвращаемся к:
$ c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 + (c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x^1)$
В скобках мы уже знаем, что сумма двух этих одночленов должна быть равна нулю, дабы многочлен был четным.
Поэтому:
$ c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 + 0$
или
$ c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2$
Мне кажется что всё показано, почему четный многочлен 4 степени должен иметь именно такой вид, где я не прав?)

[Mikhail_K]

Гм! То есть не делать вывод, что $c_1=c_3=0$, а просто подставить установленное равенство $c_3x^3+c_1x=0$ (справедливое для всех $x$) в общий вид многочлена.
Забавно. Кажется, тут и впрямь нет ошибки.

[NDP]

art_kg в сообщении #1250100 писал(а):

Мне кажется что всё показано, почему четный многочлен 4 степени должен иметь именно такой вид, где я не прав?)

Да нормально все. Только линейную независимость обоснуйте - обоснование выше хилое, как вам и сказали сразу.

[art_kg]

Mikhail_K в сообщении #1250102 писал(а):

Забавно. Кажется, тут и впрямь нет ошибки.

Ну слава богу, а то закопался бы я конкретно)

NDP в сообщении #1250104 писал(а):

Да нормально все. Только линейную независимость обоснуйте - обоснование выше хилое, как вам и сказали сразу.

Как раз думаю над этим)

[art_kg]

А если так попробовать
$c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 = 0$
Если в попытке выразить один вектор через другой, немного приобрзовать
$x^4 \cdot (c_4 \cdot + \fraс{c_2}{x^4}) = 0$
То в таком варианте записи $x^4$ нельзя выразить через $x^2$ и наоборот.

[iifat]

Ох, божечки!
Поскольку $c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 = 0$ для всех $x$, то и для $x=1$ тож. Дальше сами.

[art_kg]

iifat в сообщении #1250156 писал(а):

Ох, божечки!
Поскольку $c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 = 0$ для всех $x$, то и для $x=1$ тож. Дальше сами.

Я просто не понимаю как показать, что $c_4 = 0, c_1 = 0$ при любых $x$.
Ваша подсказка мне ничего не дала, наверно вы слишком умны относительно меня)

[iifat]

Напоминаю: $c_i$ — константы. Какие выводы вы можете сделать из

iifat в сообщении #1250156 писал(а):

Поскольку $c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 = 0$ для всех $x$, то и для $x=1$ тож

?

[art_kg]

Ну к примеру
$c_4 + c_2 = 0$
Ну и $c_4 = 1$ $c_2 = -1$
Не выходит, что бы коэффициенты были только нулевыми.)

[iifat]

Ну, может, вы знаете ещё какие-нибудь действительные числа кроме уже использованных нуля и единицы?

-- 24.09.2017, 12:00 --

Ах да, чётность мы уже использовали, так что $-1$ тоже не подходит.

[art_kg]

Ну тогда получается, поскольку многочлен четной степени и $f(0) = 0$
тогда $с_4 = 0; c_2 = 0$ другие не подойдут поскольку нарушат четность многочлена.

[Mikhail_K]

art_kg в сообщении #1250255 писал(а):

тогда $с_4 = 0; c_2 = 0$ другие не подойдут поскольку нарушат четность многочлена.

Ну и какая здесь логика?
Вы могли воспользоваться любым из трёх подходов, предложенных мной в одном из прошлых сообщений. iifat Вам предложил четвёртый подход. Хорошо, следуем значит ему.
Условие $c_4x^4+c_2x^2=0$ должно выполняться для всех $x$. Раз для всех, то и для $x=1$. Вы подставили $x=1$ и получили $c_4+c_2=0$. Этого пока недостаточно, чтобы сделать вывод $c_2=c_4=0$.
Ну ладно, запомним пока полученное нами соотношение $c_4+c_2=0$.
Но ведь вместо $x=1$ мы могли взять любое другое $x$, правда? Вот и возьмите любое другое $x$ и тоже подставьте его в $c_4x^4+c_2x^2=0$. Вам даже подсказали, что $x=0$ и $x=-1$ брать не стоит, что-нибудь другое возьмите. Напишите, что получится.

[art_kg]

Взял $x = 2$
получил:
$c_4 \cdot 16 + c_2 \cdot 4 = 0$
Создал систему:
$\left\{ \begin{array}{rcl} c_4 + c_2 = 0 \\ c_4 \cdot 16 + c_2 \cdot 4=0 \\ \end{array} \right.$
Решив ее получилось решение $c_4=c_2=0$
Но как бы всё равно не могу утверждать, что при других $x$ будет такое же решение или могу?)

[Mikhail_K]

Вы получили, что если $c_4x^4+c_2x^2=0$ для всех $x$, то точно выполняются равенства из Вашей системы, и, стало быть, $c_4=c_2=0$. Это уже означает линейную независимость $x^4$ и $x^2$.

Но если Вам хочется доказать, что и наоборот, если $c_4=c_2=0$, то $c_4x^4+c_2x^2=0$ для всех $x$ (а не только для $x=1,\,2$), то это легко сделать. Подставьте $c_4=c_2=0$ в $c_4x^4+c_2x^2$ и увидите.