Базис линейного пространства и размерность

[art_kg]

Someone в сообщении #1249915 писал(а):

Вы определение базиса можете сформулировать, никуда не подглядывая? Попробуйте. Напишите его в следующем сообщении.

Векторы с помощью которых можно образовать все остальные векторы линейного пространства определенной размерности, типа (1,0), (0,1) для двумерного пространства. Честно некуда не подглядывал)

Someone в сообщении #1249915 писал(а):

$\lvert x\rvert$ — не многочлен.

Согласен, в любом случае я писал пример четной функции)))

[Someone]

art_kg в сообщении #1249917 писал(а):

Векторы с помощью которых можно образовать все остальные векторы линейного пространства определенной размерности

Нет, это не определение, это непонятно что. Потому у Вас и задача-то не решается. Разберитесь сначала с определением, а потом можно будет разбираться с задачей.

[iifat]

art_kg в сообщении #1249862 писал(а):

Но тогда два базисных вектора $c^0$ и $c^1$ будут нулевыми, что собственно не тянет на базис

Вот отсюда начиная — полный бред. Начинать надо с уточнения условий на коэффициенты, дабы представить себе, что, собственно, представляет собой векторное пространство. $c^i$ на данном этапе — это вовсе не вектора и базис они, стало быть, образовывать не могут.

[Mikhail_K]

art_kg в сообщении #1249914 писал(а):

Вероятней всего является

А Вы проверьте. Что для этого надо сделать?

art_kg в сообщении #1249914 писал(а):

поэтому навяд ли подходит

Для чего подходит? Вам нужно: 1) описать линейное пространство чётных многочленов $f(x)$ не выше 4-й степени, таких что $f(0)=0$; 2) найти базис этого пространства. Выполняя пункт 1), Вы написали

art_kg в сообщении #1249905 писал(а):

значит многочлены второй степени, как и третьей, как и четвертой не могут быть четными функциями.

Я Вам показал контрпример, показывающий что это неверное утверждение.

Ээх, давайте с самого начала:
- напишите многочлен четвёртой степени (точнее, не выше четвёртой) в общем виде.
- подставьте его в условие $f(0)=0$, найдите условие на коэффициенты, и напишите в общем виде многочлен степени не выше 4-й, удовлетворяющий этому условию;
- подставьте его в условие чётности $f(-x)=f(x)$, помня что это условие должно выполняться для всех $x$, найдите условия на коэффициенты;
- и потом можно будет начать разбираться с базисом.

-- 23.09.2017, 07:33 --

art_kg в сообщении #1249917 писал(а):

Честно некуда не подглядывал)

Подглядывать как раз можно и нужно, главное найти чёткое определение, которое можно взять и применить, а не мутное описание как у Вас.

[art_kg]

Mikhail_K в сообщении #1249928 писал(а):

art_kg в сообщении #1249914

писал(а):
Вероятней всего является А Вы проверьте. Что для этого надо сделать?art_kg в сообщении #1249914

писал(а):
поэтому навяд ли подходит Для чего подходит? Вам нужно: 1) описать линейное пространство чётных многочленов $f(x)$ не выше 4-й степени, таких что $f(0)=0$; 2) найти базис этого пространства. Выполняя пункт 1), Вы написалиart_kg в сообщении #1249905

писал(а):
значит многочлены второй степени, как и третьей, как и четвертой не могут быть четными функциями. Я Вам показал контрпример, показывающий что это неверное утверждение.

Ээх, давайте с самого начала:
- напишите многочлен четвёртой степени (точнее, не выше четвёртой) в общем виде.
- подставьте его в условие $f(0)=0$, найдите условие на коэффициенты, и напишите в общем виде многочлен степени не выше 4-й, удовлетворяющий этому условию;
- подставьте его в условие чётности $f(-x)=f(x)$, помня что это условие должно выполняться для всех $x$, найдите условия на коэффициенты;
- и потом можно будет начать разбираться с базисом.

-- 23.09.2017, 07:33 --

art_kg в сообщении #1249917

писал(а):
Честно некуда не подглядывал) Подглядывать как раз можно и нужно, главное найти чёткое определение, которое можно взять и применить, а не мутное описание как у Вас.

Попробовал)
Вообщем многочлен не выше 4 в стандартном виде:
$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1 + c_0$
Дабы выполнялось условие $f(0) = 0$ необходимо что бы $c_0 = 0$
перепишем общий вид:
$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1$
Теперь, что бы этот многочлен был четной функцией, необходимо что бы $ c_3 = 0; c_1 = 0$
снова перепишем:
$c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 $
Теперь у нас многочлен не выше 4 степени, который является четной функцией.
$f(x) = f(-x)$
$c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 = $c_4 \cdot (-x)^4 + c_2 \cdot (-x)^2 $
У нас четные степени, поэтому равенство $f(x) = f(-x)$ выполняется.
Определение базиса:
Совокупность линейно независимых элементов $e_1,e_2,e_3 + ... + e_n$ пространства $R$ называется базисом этого пространства, если для каждого элемента $x$ пространства R найдутся вещественные числа $x_1,x_2,x_3 + .... + x_n$ такие, что справедливо равенство $x = x_1 \cdot e_1 +x_2 \cdot e_2 + x_3 \cdot e_3 + ... + x_n \cdot e_n$
В случае нашего многочлена не выше 4 степени $c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 $
$c_4, c_2 $ - координаты вектора относительно базиса.
Тогда как $x^4, x^2$ - являются базисными векторами пространства. Их два, значит размерность пространства равняется 2.Наверно надо еще показать что $x^4, x^2$ - линейно независимы.
Так ?)

[Mikhail_K]

Ну да, вот это уже похоже на верное решение.
Стоит обосновать

art_kg в сообщении #1249976 писал(а):

Теперь, что бы этот многочлен был четной функцией, необходимо что бы $ c_3 = 0; c_1 = 0$

Для этого подставьте в $f(x)=f(-x)$ полученный на предыдущем шаге "общий вид" многочлена

art_kg в сообщении #1249976 писал(а):

$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1$

приведите подобные слагаемые, используйте что равенство $f(x)=f(-x)$ должно быть справедливо для всех $x$, а если хотя бы для одного $x$ нарушается, то это уже не будет чётная функция. После этого несложно будет и

art_kg в сообщении #1249976 писал(а):

еще показать что $x^4, x^2$ - линейно независимы.

[art_kg]

Попробуем)
$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1 = c_4 \cdot (-x)^4 + c_3 \cdot (-x)^3 + c_2 \cdot (-x)^2 + c_1 \cdot (-x)^1$
$c_4 \cdot x^4 + c_3 \cdot x^3 + c_2 \cdot x^2 + c_1 \cdot x^1 - c_4 \cdot (-x)^4 - c_3 \cdot (-x)^3 - c_2 \cdot (-x)^2 - c_1 \cdot (-x)^1 = 0$
После приведения подобных получаем:
$ c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x^1 = 0$
То есть, что бы выполнялось равенство $f(x) = f(-x)$
должно выполняться равенство
$ c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x^1 = 0$
В каких случаях может выполнятся данное равенство
Допустим уравнение имеет нетривиально решение, то есть $c_3 \neq 0; $c_1 \neq 0$
тогда можем выразить $x^1$
$x^1 = \frac{ -c_3 \cdot x^3}{c_1}
Что значит, что вектора $x^3, x^1$ линейно зависимы, поэтому не могут присутствовать в многочлене.
Остается только тривиальное решение $c_3 = 0; $c_1 = 0$
Поэтому четный многочлен не выше 4 степени имеет вид:
$c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2$
Теперь докажем что вектора $x^4;x^2$ - линейно независимы, дабы они могли быть базисом четных многочленов не выше 4 степени. Допустим что уравнение имеет нетривиальное решение и попробуем выразить $x^2$
$x^2 = \frac{ -c_4 \cdot x^4}{c_2} $
далее
$x = \sqrt{\frac{ -c_4 \cdot x^4}{c_2}} $
Под квадратным корнем отрицательное значение, поскольку в определение было упоминание вещественных чисел, а не комплексных, выразить не $x^2$ не получиться.
Получается, что данное уравнение имеет только тривиальное решение $c_4 = 0; c_2 = 0$
Следовательно вектора $x^4;x^2$ линейно независимы, поэтому образуют базис многочленов не выше 4 степени. Ну и размерность равно 2.
Такое пойдет?)

[mihailm]

art_kg в сообщении #1250032 писал(а):

...Под квадратным корнем отрицательное значение, поскольку в определение было...

А если там $c$ разных знаков?)

[art_kg]

mihailm в сообщении #1250051 писал(а):

А если там $c$ разных знаков?)

Мы рассматриваем линейную комбинацию векторов:
$c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2$ = 0
Ну или на что надо умножить, что бы получились разные знаки у четного многочлена степени не выше 4 ?)
Так пойдет?)

[mihailm]

Зря Mikhail_K попросил попросил обосновать) Тут сойдет, решайте следующую задачу. Шероховатости по ходу исправятся.

[art_kg]

mihailm в сообщении #1250072 писал(а):

Зря Mikhail_K попросил попросил обосновать) Тут сойдет, решайте следующую задачу. Шероховатости по ходу исправятся.

Да я не спешу, подскажите неправильные моменты если не сложно.

[mihailm]

Тогда для начала надо определить, что такое многочлен)

[art_kg]

mihailm в сообщении #1250079 писал(а):

Тогда для начала надо определить, что такое многочлен)

Ну вы на что нить конкретное укажите, что бы я как то мог связать понятие многочлена и неправильного утверждения.

[Mikhail_K]

Ну вот пусть у Вас $c_3x^3+c_1x=0$ для всех $x$.

Можно вспомнить мат.анализ.
Для ненулевых $x$ Вы можете разделить обе части на $x$ и посмотреть, например, куда стремится левая часть при $x\to +\infty$ (и как это зависит от коэффициентов $c_1$, $c_3$) и куда правая часть. И раз эти части равны, то...

Или можно вспомнить алгебру, а именно её основную теорему.

Так же потом и с $c_4x^4+c_2x^2=0$.

[NDP]

Только зачем это все, если все гораздо проще?