Маятник в поле силы Лоренца

[ewq]

Помогите разобраться. Вот тут https://drzewo.livejournal.com/2193.html
человек утверждает, что верхнее положение равновесия сферического маятника можно стабилизировать силой Лоренца (это при том, что она не совершает работы!) Доказательство его я нахожу неверным т.к. он доказывает устойчивость в какой-то странной подвижной системе координат из чего не следует устойчивость в инерциальной системе. Когда я ему это написал в блог, он меня послал и забанил.

Рассуждения там приводятся следующие




Заряженная частица массы $m$ может без трения скользить по сфере радиуса $r$ в поле силы тяжести $\boldsymbol g=-g\boldsymbol e_z$. Декартова система координат $Oxyz$ неподвижна. На частицу действует сила Лоренца $\boldsymbol F=c[\boldsymbol B,\boldsymbol v],\quad \boldsymbol B=B \boldsymbol e_z;\quad c,B=const.$

Очевидно, в отсутствие силы Лоренца положение частицы на северном полюсе сферы является неустойчивым. Покажем, что если $B^2$ достаточно велика то это положение равновесия устойчиво.

Введем систему координат $O\xi\eta\zeta$, которая вращается вокруг оси $z$ с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol\omega=\omega\boldsymbol e_z$, и подберем константу $\omega$ так, что бы в новых координатах уравнения движения не содержали гироскопических членов.

Напишем уравнение движения

$$m\boldsymbol a=\boldsymbol N+m\boldsymbol g+c[\boldsymbol B,\boldsymbol v],\qquad(*)$$

$\boldsymbol N$ -- нормальная реакция сферы. Имеем:

$$\boldsymbol a=\boldsymbol a_r+\boldsymbol a_c+\boldsymbol a_e,\quad \boldsymbol v=\boldsymbol v_r+\boldsymbol v_e,$$

и

$$\boldsymbol a_e=[\boldsymbol \omega,[\boldsymbol\omega,\boldsymbol r]],\quad \boldsymbol a_c=2[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_r],\quad \boldsymbol v_e=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol r].$$

Выберем $\boldsymbol\omega$ так, что бы из уравнения (*) пропали линейные по относительной скорости члены:

$$\boldsymbol\omega=\frac{c}{2m}\boldsymbol B.$$

Уравнение (*) приобретает вид

$$m\boldsymbol a_r=\boldsymbol N+m\boldsymbol g+\frac{c^2}{4m}[\boldsymbol B,[\boldsymbol B,\boldsymbol r]].$$

Используя формулу "бац-цаб" находим потенциал

$$V(\boldsymbol r)=mg(\boldsymbol r,\boldsymbol e_z)+\frac{c^2}{8m}\Big(B^2|\boldsymbol r|^2-(\boldsymbol B,\boldsymbol r)^2\Big),$$

или с учетом $|\boldsymbol r|= const$

$$V(\boldsymbol r)=mg(\boldsymbol r,\boldsymbol e_z)-\frac{c^2}{8m}(\boldsymbol B,\boldsymbol r)^2.$$

Таким образом в подвижной системе координат мы получили систему с потенциальными силами.

Введем в окрестности верхнего положения равновесия локальные координаты $\xi,\eta$. Тогда $\boldsymbol r=\xi\boldsymbol e_\xi+\eta\boldsymbol e_\eta+\sqrt{r^2-\xi^2-\eta^2}\boldsymbol e_\zeta.$
Откуда

$$V=\Big(\frac{c^2B^2}{8m}-\frac{mg}{2r}\Big)\rho^2+o(\rho^2),$$

где $\rho^2=\xi^2+\eta^2$ -- мало.
Значит если $\frac{c^2B^2}{8m}-\frac{mg}{2r}>0$ то верхнее положение равновесия частицы устойчиво



Меня это рассуждение не удовлетворяет поскольку устойчивость доказана относительно подвижной системы координат, а не относительно инерциальной
формулирую предмет обсуждения: можно ли стабилизировать верхнее положение равновесия сферического маятника, находящегося в поле силы тяжести, путем добавления силы Лоренца и верно ли данное рассуждение?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- предмет обсуждения нужно сформулировать непосредственно в сообщении, так, чтобы его можно было понять без перехода по внешней ссылке;
- что, собственно, Вы хотите? Разбанить Вас в чьем-то ЖЖ тут никто не сможет.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

ewq в сообщении #1249443 писал(а):

человек утверждает...
Доказательство его я нахожу неверным

Не "человек утверждает", "доказательство его", а там процитирована книжка. Хорошо бы узнать, какая.

-- 22.09.2017 13:14:37 --

ewq в сообщении #1249443 писал(а):

Меня это рассуждение не удовлетворяет поскольку устойчивость доказана относительно подвижной системы координат, а не относительно инерциальной

Переведите итоговые формулы обратно в инерциальную, делов-то.

[ewq]

Munin в сообщении #1249720 писал(а):

Не "человек утверждает", "доказательство его", а там процитирована книжка.

где это там книжка процитирована?

Munin в сообщении #1249720 писал(а):

Переведите итоговые формулы обратно в инерциальную, делов-то.

А вас без всяких формул не смущает, что сила, не совершающая работы, превратила неустойчивое положение равновесия в устойчивое?

[Munin]

ewq в сообщении #1249866 писал(а):

где это там книжка процитирована?

Вы не заметили, что скриншоты из книжки?

ewq в сообщении #1249866 писал(а):

А вас без всяких формул не смущает, что сила, не совершающая работы, превратила неустойчивое положение равновесия в устойчивое?

Нет пока.

[ewq]

Munin в сообщении #1249882 писал(а):

Вы не заметили, что скриншоты из книжки?

совершенно не факт, может она на TeX набрана автором, отсканирована и выложена. И английский там так себе

Munin в сообщении #1249882 писал(а):

Нет пока.

а жаль:(

[physicsworks]

Английский там действительно так себе. А что касается задачи как таковой, то существует теорема о том, что если степень
неустойчивости консвервативной системы четна, то гироскопическая стабилизация возможна. Саму теорему можно посмотреть, по-моему, в Маркееве.

[lel0lel]

Задача из серии - напугай студентов переходом в неинерциальную систему координат, пусть вспомнят переносное и кориолисово ускорения, а на дом задай решить школьным способом.

Разумеется, нет никаких причин, чтобы точка оставалась на полюсе. Её равновесие по-прежнему неустойчивое. Но как только она начинает съезжать, на неё начинает действовать сила Лоренца, которая меняет направление скорости, пытаясь предотвратить падение. Я полагаю, что вернуться обратно частица не сможет (можно попробовать доказать это, но сейчас не берусь), но возможно равномерное движение точки по окружности в бесконечно малой окрестности полюса (или нечто близкое к такому движению, когда точка описывает некий узор на сфере).
Выясним какая должна быть скорость, чтобы под действием трёх сил ${\bf F}, {\bf N}, m{\bf g}$ реализовалось равномерное вращение с азимутальный углом $\theta$. Да-да, сейчас выпишем закон Ньютона в проекции на оси (всё как в школе), с соответствующими оговорками про мгновенные системы координат. Имеем

$$mg=N\cos{\theta},$$ $$qvB-N\sin{\theta}=\frac{mv^2}{R\sin{\theta}}.$$

Откуда получим

$$v=\frac{R\sin{\theta}}{2m}\left(qB+\sqrt{q^2B^2-\frac{4m^2g}{R\cos{\theta}}}\right).$$

Условие реализуемости такого движения

$$q^2B^2\ge\frac{4m^2g}{R\cos{\theta}}.$$

Остаётся проверить, что бесконечно малое смещение точки из положения равновесия ($\theta=\varepsilon$) приводит к появлению достаточной скорости для реализации равномерного вращения точки при данном угле, чтобы ниже она не спускалась.
Из ЗСЭ $v=\sqrt{2gR(1-\cos{\varepsilon})}\approx \sqrt{gR}\varepsilon$, поэтому

$$\sqrt{gR}\ge\frac{q B R+\sqrt{(q B R)^2-4 g R m^2}}{2 m}.$$

Из этого выражения видно, что для малых масс это условие не выполняется, точка не наберёт достаточной для равномерного вращения скорости и соскользнёт, если надумает покинуть полюс. Решая систему неравенств, я получил, что только при $q^2B^2R=4m^2 g$ точка будет оставаться в бесконечно малой окрестности полюса.
P.S. Если считать, что мы сами можем задать какую угодно скорость, то, действительно, получим, что точка может вращаться сколь угодно близко к полюсу.

[svv]

Это, по-видимому, источник:
https://www.physicsforums.com/threads/t ... on.871876/
(см. attached file в последнем сообщении)

[Munin]

lel0lel
Дело в том, что вы воспринимаете устойчивость "по-школьному", как минимум в потенциале. Но для этого необходимо, чтобы система обладала потенциалом. Здесь есть сила, зависящая от скорости, и правильный анализ - в терминах динамической системы и фазового портрета, в 4-мерном фазовом пространстве. Но данный случай можно привести к потенциальному, и делается это именно переходом в систему отсчёта, вращающуюся с $\boldsymbol{\omega}.$

Если же вы хотите оставаться в неподвижной с.о., то вам придётся честно анализировать отклонения не только по координате, но и по скорости - как минимум в 3-мерном пространстве (одну координату можно исключить из-за осевой симметрии).

[lel0lel]

Уважаемый Munin, если честно, то я ещё проще воспринимаю устойчивость в данной задаче. Пожалуй, даже не на школьном, а на вполне детсадовском уровне - если шарик с характерным звуком баммм ударится о стол, то равновесие было неустойчивое.

Рассмотрим устойчивость по отношению к неточной установке шарика на полюсе. Другими словами, мы его смещаем на сколь угодно маленький вектор, не сообщая ему начальной скорости, и отпускаем. Вернётся ли он на полюс? Конечно, нет, это бы противоречило ЗСЭ. Сможет ли он оставаться на той же высоте? Для этого, как было строго показано в предыдущем сообщении, он должен обладать определённой скоростью. То бишь он поедет вниз по сфере, пытаясь набрать скорость и стабилизировать траекторию. Позже обсудим, что стационарными траекториями в этой системе могут быть только окружности. Вот только радиус предполагаемой окружности и, что более важно, угол $\theta$ будут также расти, тогда, в соответствии с формулой для скорости стац. движения, она тоже будет увеличиваться, разрушая все надежды шарика на стабилизацию. Эта захватывающая погоня закончится характерным звуком, шарик опишет траекторию схожую со спиралью на полусфере.

Чувствую, что назревает вопрос: енто почему мы не дали шансов шарику самому сместиться с полюса? Поставили его в невыгодные условия, да ещё без начальной скорости! Давайте исправимся, пусть теперь сам съезжает.

Рассмотрим устойчивость по отношению к флуктуациям скорости. Шарик стоит точно на полюсе, подул ветерок, сообщив ему бесконечно маленькую скорость. Предположим, что возможно стационарное движение шарика, он не падает. В этом случае существуют точки поворота для угла $\theta$. В них $\dot{\theta}=0$, вектор ${\bf v}$ параллелен горизонтальной плоскости, модуль $v=R\sin{\theta}\,\, \dot{\varphi}$. Таким образом, малая окрестность точки поворота это стационарное движение по окружности. В общем-то это уже показывает, что если шарик достигает точки поворота, то выйти из неё он уже не сможет (классическая модель чёрной дыры ), так и будет равномерно вращаться. Может для кого-то это не покажется очевидным, тогда можно изучить характер движения шарика в точке поворота со скоростями меньшими и большими стационарной, для этого нужно расписать силы (они будут все в одной плоскости). Несложный анализ приводит к результату, что в этих двух случаях шарик будет продолжать спускаться вниз, а значит в точке поворота скорость не может отличаться от стационарной, иначе это не точка поворота. Ну а если она ей равна, то шарик не сойдёт с окружности.

Итог: если шарик не падает, значит он вращается по окружности. Необходимая для такого вращения стационарная скорость может появиться только за счёт убыли потенциальной энергии. В предыдущем сообщении было показано, что это уникальный случай, чаще всего скорости не хватает и ... баммм. Правда было показано, что не хватает скорости для стабилизации в малой окрестности полюса, но интуиции подсказывает, что не хватит и далее. Если есть желание, то легко исследуется этот вопрос. Есть единственный набор параметров, когда шарик на первый взгляд устойчив:

lel0lel в сообщении #1249913 писал(а):

только при $q^2B^2R=4m^2 g$ точка будет оставаться в бесконечно малой окрестности полюса

Но сейчас я понимаю, что здесь сделан поспешный вывод, так как неравенство с тригонометрией я разложил в ряд до членов первого порядка и при таком наборе параметров оно превратилось в строгое равенство, но тогда заключать ничего нельзя, нужно исследовать далее. Очень уж хотелось поверить в устойчивость и как-то неумышленно про это забыл.


Несколько замечаний по поводу pdf-доказательства:
Был осуществлён переход во вращающуюся систему, но потом не обсуждается, что если шарик неподвижен в исходных координатах и не находится на полюсе, то во вращающейся системе координат он будет иметь большую кинетическую энергию и нужно проводить исследование не выпрыгнет ли он из локальной ямки. Собственно это и есть основная проблема. Либо нужно учитывать центробежный потенциал (переходя в ещё одну ск), либо потребовать, чтобы шарик достаточно быстро вращался в исходной ск (так получим стац. решения упоминаемые выше). Но здесь всплывает вопрос об энергии, будет ли она у него для такого решения?

[ewq]

Вот Вы сейчас подробно и точно формулируете претензии, которые есть у меня к этому решению. Я там и другие посты посмотрел в этом блоге, ну обычный научный фрик, там куча ошибок в каждом сообщении

[lel0lel]

(Оффтоп)

ewq
Это Вы зря, интересуется человек наукой, популяризирует её, что же в этом плохого. В конце-концов он же не постит совершенную ерунду. Это решение даже не ему принадлежит. Скорее всего Вы с ним просто не смогли поладить. А насчёт ошибок, чую, что сейчас придёт Munin и найдёт их энное количество у меня

[Munin]

lel0lel
Лучше я позову Олега Зубелевича, а сам умою руки. Это скорее его вотчина.

-- 23.09.2017 22:06:04 --

lel0lel в сообщении #1250106 писал(а):

Эта захватывающая погоня закончится характерным звуком, шарик опишет траекторию схожую со спиралью на полусфере.

Это лучше бы смотрелось, если бы было с формулами.

lel0lel в сообщении #1250106 писал(а):

Таким образом, малая окрестность точки поворота это стационарное движение по окружности.

С чего бы это? Он может прийти в эту точку с другой скоростью.

lel0lel в сообщении #1250106 писал(а):

Может для кого-то это не покажется очевидным, тогда можно изучить характер движения шарика в точке поворота со скоростями меньшими и большими стационарной, для этого нужно расписать силы (они будут все в одной плоскости). Несложный анализ приводит к результату, что в этих двух случаях шарик будет продолжать спускаться вниз

А у меня он приводит к другому результату. Почему-то. Не могли бы вы расписать этот несложный анализ, особенно выделив в нём, как у вас линейное по скорости слагаемое силы Лоренца привело к чётному поведению суммы сил?