Базис линейного пространства и размерность

[art_kg]

Сколько векторов в базисе линейного пространства чётных многочленов $f(x)$ степени не выше 4 таких, что $f(0) = 0$
Подскажите как начать рассуждать?

[mihailm]

С начала: сколько векторов в базе линейного пространства чётных многочленов?

[art_kg]

mihailm в сообщении #1249852 писал(а):

С начала: сколько векторов в базе линейного пространства чётных многочленов?

Пока не особо понимаю. Четные функции, к примеру
$|x|$
$x^2$
Если представляю многочлены степеней до 4 в стандартном виде
$c^0 + c_1 \cdot x^1 + ... + c_m \cdot x^m$
Пока не с одно не получается четная функция да еще такая что бы была $f(0) = 0$

[Pphantom]

У Вас есть условие $f(0)=0$. Можно ли найти какой-либо коэффициент, воспользовавшись им?

Что такое четная функция? Какие условия на коэффициенты из этого следуют?

[art_kg]

Можно попробовать многочлен второй степени:
$c^0 + c_1 \cdot x^1 +c_2 \cdot x^2$
Но тогда два базисных вектора $c^0$ и $c^1$ будут нулевыми, что собственно не тянет на базис. Остаются только многочлены первой степени, но опять же кроме как взятие по модулю многочлена, представить четную функции многочлена первой степени у меня не получается, а если брать по модулю то любая степень подходит, которая меньше 4.

Четная функция, это функция $f(x) = f(-x)$

[mihailm]

art_kg в сообщении #1249862 писал(а):

...Четная функция, это функция $f(x) = f(-x)$

Как будет выглядеть это условие для многочленов?

[art_kg]

К примеру для второй степени
$c^0 + c_1 \cdot x^1 +c_2 \cdot x^2 = c^0 + c_1 \cdot (-x)^1 +c_2 \cdot (-x)^2 $
Для первой
$c^0 + c_1 \cdot x^1 = c^0 + c_1 \cdot (-x)^1 $
Пока не вижу ответа(

[mihailm]

это же для всех $x$?

[art_kg]

Четный многочлен это вроде четная функция. А как если не для всех?

[mihailm]

art_kg в сообщении #1249873 писал(а):

К примеру для второй степени
$c^0 + c_1 \cdot x^1 +c_2 \cdot x^2 = c^0 + c_1 \cdot (-x)^1 +c_2 \cdot (-x)^2 $

Тут нельзя чего упростить/преобразовать?

[NDP]

art_kg в сообщении #1249849 писал(а):

Подскажите как начать рассуждать?

Начать рассуждать с определения базиса.

[art_kg]

mihailm в сообщении #1249890 писал(а):

art_kg в сообщении #1249873 писал(а):

К примеру для второй степени
$c^0 + c_1 \cdot x^1 +c_2 \cdot x^2 = c^0 + c_1 \cdot (-x)^1 +c_2 \cdot (-x)^2 $

Тут нельзя чего упростить/преобразовать?

Да можно знаки переставить, поигрался с x тоже ничему не пришел, в любом случае это неверное равенство, значит многочлены второй степени, как и третьей, как и четвертой не могут быть четными функциями.
Остаются многочлены первой степени, но я не могу представить их в виде четной функции в стандартном виде.

NDP в сообщении #1249891 писал(а):

Начать рассуждать с определения базиса.

В моем понимание это линейно-независимые векторы образующие векторное пространство. В задачи получается, если смогу найти базис, смогу найти размерность. Но перед тем как найти базис, мне нужно понять что же за многочлены образуют пространство четных функций. Хотя бы определить степень этих многочленов, тогда размерность совсем легко найти $n + 1$, $n$ - степень многочлена. Вот с этим походу и загвоздка.

[Mikhail_K]

art_kg в сообщении #1249905 писал(а):

Да можно знаки переставить, в любом случае это неверное равенство

Напишите подробнее.

art_kg в сообщении #1249905 писал(а):

значит многочлены второй степени, как и третьей, как и четвертой не могут быть четными функциями.

А функция $f(x)=x^4+2x^2$ что, не является чётной?

[art_kg]

Mikhail_K в сообщении #1249908 писал(а):

Напишите подробнее.

Попробую подумать над этим. Только вы немного по конкретней подскажите что искать)

Mikhail_K в сообщении #1249908 писал(а):

А функция $f(x)=x^4+2x^2$ что, не является чётной?

Вероятней всего является, но у такого многочлена 4 степени, будет 3 нулевых вектора в базисе будет, поэтому навяд ли подходит.

[Someone]

art_kg в сообщении #1249914 писал(а):

у такого многочлена 4 степени, будет 3 нулевых вектора в базисе будет

Вы определение базиса можете сформулировать, никуда не подглядывая? Попробуйте. Напишите его в следующем сообщении.

art_kg в сообщении #1249854 писал(а):

Пока не особо понимаю. Четные функции, к примеру
$|x|$

$\lvert x\rvert$ — не многочлен.