Делимость на 2017

[Ktina]

Все натуральные числа выписаны в порядке возрастания без разделителей. В результате получилась бесконечная последовательность цифр:

1234567891011121314...

Докажите, что существует число, образованное первыми несколькими цифрами этой последовательности и делящееся на 2017.

[grizzly]

Ktina в сообщении #1249686 писал(а):

Докажите, что существует число, образованное первыми несколькими цифрами этой последовательности и делящееся на 2017.

Так а что тут доказывать? Смотри:
$1234567891011121314...1425 \bmod 2017 =0$
Легко проверяется остатками. Это не первое число в последовательности, но первое, в котором не дробятся цифры приписываемых чисел. Другое дело доказать, что таких чисел бесконечно много. Но и это проще простого: когда дойдём до числа $10^{2017}$, то последовательно добавляя 2017 раз нули получим полную систему вычетов.

[maxal]

A075002(2017) = 1425

-- Fri Sep 22, 2017 09:59:33 --

Делимость на 6314 интереснее.

[Ktina]

grizzly
Большое спасибо!

[Dmitriy40]

Кроме $6314$ интересны ещё и делящиеся на последнее записанное число. Кроме тривиальных среди них есть и: $36, 216, 248, 324, 405, 710, 1394, 3132, 6696, 8775$.

[maxal]

Dmitriy40 в сообщении #1250137 писал(а):

интересны ещё и делящиеся на последнее записанное число.

A029455