Преобразование базиса и матрица перехода

[misha.physics]

Здравствуйте. Наткнулся на следующую проблему:

Рассмотрим переход от старого базиса $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ к новому $(\vec{e_{1'}}, \vec{e_{2'}}, \vec{e_{3'}})$:
$\vec{e_{1'}}=a^1_{1'}\vec{e_1}+a^2_{1'}\vec{e_2}+a^3_{1'}\vec{e_3}$
$\vec{e_{2'}}=a^1_{2'}\vec{e_1}+a^2_{2'}\vec{e_2}+a^3_{2'}\vec{e_3}$
$\vec{e_{3'}}=a^1_{3'}\vec{e_1}+a^2_{3'}\vec{e_2}+a^3_{3'}\vec{e_3}$,
или коротко:
$\vec{e_{i'}}=a^i_{i'}\vec{e_i}$
Коеффициенты $a^i_{i'}$ заполняют матрицу $A$. Пусть верхний индекс обозначает строку, а нижний - столбец етой матрицы.
$A=||a^i_{i'}||=\begin{pmatrix} a^1_{1'} & a^1_{2'} & a^1_{3'}\\ a^2_{1'} & a^2_{2'} & a^2_{3'}\\ a^3_{1'} & a^3_{2'} & a^3_{3'} \end{pmatrix}$
Координаты вектора меняються за правилом:
$x^i=a^i_{i'}x^{i'}$.
То есть,
$\begin{pmatrix} x^1\\ x^2\\ x^3 \end{pmatrix}=A{\begin{pmatrix} x^{1'}\\ x^{2'}\\ x^{3'} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} a^1_{1'} & a^1_{2'} & a^1_{3'}\\ a^2_{1'} & a^2_{2'} & a^2_{3'}\\ a^3_{1'} & a^3_{2'} & a^3_{3'} \end{pmatrix}}\begin{pmatrix} x^{1'}\\ x^{2'}\\ x^{3'} \end{pmatrix}$

Обратное преобразование для координат:
$\begin{pmatrix} x^{1'}\\ x^{2'}\\ x^{3'} \end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix} x^1\\ x^2\\ x^3 \end{pmatrix}$
Мы считаем матрицу $A$ ортогональной, значит:
$A^{-1}=A^{T}$

Пусть $b_i^{i'}$ - элементы матрицы $A^{-1}$ (или $A^T$), тогда
$x^{i'}=b_i^{i'}x^i$.

Но как нам записать элементы матрицы $A^T$ через елементы $a^i_{i'}$ матрицы $A$? Ведь между ними есть связь.
Мы можем просто подставить вместо $A^{-1}$ матрицу $A^T$:
$\begin{pmatrix} x^{1'}\\ x^{2'}\\ x^{3'} \end{pmatrix}=A^{T}\begin{pmatrix} x^1\\ x^2\\ x^3 \end{pmatrix}={\begin{pmatrix} a^1_{1'} & a^2_{1'} & a^3_{1'}\\ a^1_{2'} & a^2_{2'} & a^3_{2'}\\ a^1_{3'} & a^2_{3'} & a^3_{3'} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} x^1\\ x^2\\ x^3 \end{pmatrix}}$

Но здесь слева штрих вверху а справа штрих внизу. Нам нужно $b^{i'}_i$, а у нас есть $a^{i}_{i'}$.

Я вижу только одно решение: написать $x^{i'}=a^{i'}_ix^i$. Но здесь верхний индекс в $a_i^{i'}$ уже будет обозначать не строку, а столбец, и нижний индекс не столбец, а строку. То есть получаеться, для того чтобы узнать какой индекс обозначает строку, а какой столбец, нужно смотреть не то, какой индекс верхний а какой нижний. А нужно смотреть на то, какой индекс со штрихом, а какой без штриха. В нашем случаее, индекс без штриха будет обозначать строчку, а индекс с штрихом будет обозначать столбец матрицы. Тогда в $a^i_{i'}$ строку обозначает верхний индекс, а в $a^{i'}_i$ строку обозначает нижний индекс. И все ето делается для того, чтобы сделать "правильным" умножение матриц.

Мой вопрос в том, правильно ли здесь все у меня, и действительно ли так должно быть, что строчку или столбец в которой расположен елемент матрицы характеризирует не то, верхний ето индекс или нижний, а то, возле какого индекса находится штрих. И можно ли как-то сделать "по-другому" чтобы привязаться именно к местоположению индекса?

P.S. Чувствую, что местами невнятно выразился, поетому надеюсь на Ваше интуитивное понимание моей проблемы.

[Munin]

Ваша проблема в том, что вы пытаетесь выразить в тензорном формализме операцию транспонирования, а её там нет. Вам надо просто обозначить элементы $A$ и $A^{-1}$ разными буквами, а про факт $A^{-1}=A^\mathrm{T}$ упомянуть отдельно словами. А то и на время забыть его. Тензоры - не про это.

[Slav-27]

misha.physics
Лучше думать, что индекс $i'$ (равно как и $i$) принимает значения от $1$ до $3$ (без всяких там $a^1_{1'}$ и так далее). Если вас смущает штрих, пишите вместо буквы $i'$ букву $k$, а вместо $\mathbf e_{i'}$ пишите $\mathbf f_k$.

Просто принята некоторая условность: можно обозначать оба базиса одной и той же буквой $e$ (а не двумя разными буквами $e$ и $f$), а чтобы различать, где какой -- писать у одного в качестве индексов только латинские буквы со штрихами, а у другого -- только латинские буквы без штрихов. Совершенно равноценно можно договориться писать у одного только латинские буквы, а у другого -- только греческие, то есть считать, что если написано $\mathbf e_b$, то имеется в виду вектор номер $b$ из первого базиса, а если написано $\mathbf e_\beta$ -- то вектор номер $\beta$ из второго базиса. Или у одного только строчные, а у другого - заглавные. (Но так не принято, а принято именно штрихи.) Недостаток такой системы в том, что если написать $\mathbf e_1$, то таки становится непонятно, первый базис имеется в виду или второй. Но писать числовые значения индексов явно как правило не требуется, если только кто не захочет всё расписать в развёрнутом виде (как вот вы захотели).

-- 21.09.2017, 18:56 --

misha.physics в сообщении #1249504 писал(а):

Мой вопрос в том, правильно ли здесь все у меня, и действительно ли так должно быть, что строчку или столбец в которой расположен елемент матрицы характеризирует не то, верхний ето индекс или нижний, а то, возле какого индекса находится штрих.

Таким образом: нет, это неверно.

UPD: скорее даже просто бессмысленно.

В общем, мораль: используйте хитрые обозначения со штрихами ТОЛЬКО для перехода от одного базиса к другому. А если вы вдруг хотите с матрицами перехода ещё что-нибудь делать (сопрягать и т. д.) -- то просто обозначьте матрицы прямого и обратного перехода двумя разными буквами и не майтесь с этими штрихами. Они для этого всё равно не предназначены. Сэкономите время, проверено.

[misha.physics]

Munin, Slav-27, спасибо.