2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объем фигуры
Сообщение18.09.2017, 18:22 


21/07/12
126
Требуется найти объем фигуры, задаваемой следующими неравенствами: $x^{2}+2y^{2}-z^{2}\leqslant a^{2}$ и $x^{2}+2y^{2}\geqslant 4z^{2}$ Построив эту фигуру, я обнаружил, условно говоря, конус, "сидящий" в однополосном гиперболоиде. Далее я нашел аппликату при которой эти поверхности пересекаются $z=\pm\frac{a}{\sqrt{3}}$. Пересекаются они по эллипсам $x^{2}+2y^{2}=\frac{4a^{2}}{3}$. Далее я перехожу от декартовой системе координат к цилиндрической:
$$x=r\cos{\varphi},y=\frac{r}{\sqrt{2}}\sin{\varphi},z=z$$
Мой интеграл преобразуется:
$$\iiint\limits_{V}{dxdydz}=\frac{1}{\sqrt{2}}\iiint\limits_{V'}{rdrdzd\varphi}$$,
где область $V'$ задается следующими неравенствами:
$$r^{2}\leqslant a^{2}+z^{2},r^{2}\geqslant 4z^{2}$$
И мой интеграл преобразуется к:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{\frac{a}{\sqrt{3}}}{dz}\int\limits_{2z}^{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{rdr}$$
Однако когда я его беру, ответ не сходится с тем, что должно быть, так что я думаю, что я, определенно, где-то неправ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение18.09.2017, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Для точек фигуры $r^2\geqslant 4z^2$, т.е. $r\geqslant 2|z|$. Без знака модуля в нижнем пределе переменная интегрирования $r$ при $z<0$ будет принимать и отрицательные значения, что некорректно геометрически и приводит к неверному значению интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение19.09.2017, 02:49 


21/07/12
126
svv в сообщении #1248789 писал(а):
Без знака модуля в нижнем пределе переменная интегрирования $r$ при $z<0$ будет принимать и отрицательные значения, что некорректно геометрически и приводит к неверному значению интеграла.

Спасибо, действительно модуль потерял.
$$\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\left(\int\limits_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{0}{dz}\int\limits_{-2z}^{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{rdr}+\int\limits_{0}^{\frac{a}{\sqrt{3}}}{dz}\int\limits_{2z}^{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{rdr}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\left(\int\limits_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{0}{(a^{2}-3z^{2})dz}+\int\limits_{0}^{\frac{a}{\sqrt{3}}}{(a^{2}-3z^{2})dz}\right)=$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^{3}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^{3}\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Однако это не совпадает с ответом в задачнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение19.09.2017, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
1. А какой ответ в задачнике? Под что подгонять будем? :P
Вы в таких случаях, пожалуйста, сразу оба ответа приводите, этим экономится время и усилия.

2. Я вижу, у Вас для верхней и нижней половинок фигуры получились разные объёмы. Но фигура-то, вроде бы, симметричная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение19.09.2017, 13:56 


10/09/14
173
Не для всех а будет замкнутое тело. См.картинку.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение19.09.2017, 19:02 


21/07/12
126
svv в сообщении #1248844 писал(а):
А какой ответ в задачнике? Под что подгонять будем?


Авторы(Виноградова, Олехник) утверждают что ответ $\frac{29\pi\sqrt{2}a^{3}}{192}$

svv в сообщении #1248844 писал(а):
2. Я вижу, у Вас для верхней и нижней половинок фигуры получились разные объёмы. Но фигура-то, вроде бы, симметричная?


Это действительно странно, но в таком случае, я всё же не пойму, где ошибаюсь.

redicka в сообщении #1248899 писал(а):
Не для всех а будет замкнутое тело

В задачнике написано, что $a>0$, не более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение19.09.2017, 21:47 


10/09/14
173
Как говорится: книга-книгой, а мозгами двигай :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение19.09.2017, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ответ в задачнике неправильный. Можно построить фигуру «цилиндр минус конус», которая является частью заданной фигуры (подробности опускаю). Её объём находится с помощью школьных формул, и он оказывается больше, чем в ответе авторов.

Правильный ответ получится, если здесь исправить знак:
oniksofers в сообщении #1248813 писал(а):
$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^{3}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}{\color{red}+}\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}\right)$

redicka
Пусть $a=\frac 3 2$. Тогда точка $P$ с координатами $x=\sqrt 3, y=0, z=\frac{\sqrt{3}}{2}$ лежит и на конусе, и на гиперболоиде. Но на левой картинке не видно их пересечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение20.09.2017, 00:36 


10/09/14
173
Виноват, пересечение будет при любом $a$, большем нуля.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение21.09.2017, 12:18 


21/07/12
126
Еще один пример: тело задается неравенствами:
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant R^{2},x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 2Rz$$
Геометрически - это пересечение двух эллипсоидов(сфер), переходя к сферической системе координат получаю следующее:
$$\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{R}{dr r^{2}}\int\limits_{\arccos{\frac{r}{2R}}}^{\pi}{d\theta \sin{\theta}}=\frac{11\pi R^{3}}{12}$$
В ответе же написано, что это $\frac{5\pi R^{3}}{12}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение21.09.2017, 12:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
oniksofers в сообщении #1249439 писал(а):
$$\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{R}{dr r^{2}}\int\limits_{\arccos{\frac{r}{2R}}}^{\pi}{d\theta \sin{\theta}}=\frac{11\pi R^{3}}{12}$$
В ответе же написано, что это $\frac{5\pi R^{3}}{12}$

Посчитайте сумму этих ответов. Ни на какие мысли не наводит?...

(один из шести пределов неверен; соответственно, Вы посчитали объём не той части пространства, что была заказана)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение21.09.2017, 13:57 


21/07/12
126
ewert в сообщении #1249448 писал(а):
Посчитайте сумму этих ответов. Ни на какие мысли не наводит?


Объем сферы. Да уже увидел, что опечатался когда у себя неравенство писал, $\cos{x}\geqslant \frac{r}{2R}$ таинственным образом превратилось в $\cos{x}\leqslant\frac{r}{2R}$. Всем спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение21.09.2017, 15:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
oniksofers в сообщении #1249463 писал(а):
Объем сферы.

Да. Хотя полезно всё-таки знать, что объём сферы равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем фигуры
Сообщение21.09.2017, 15:48 


21/07/12
126
ewert в сообщении #1249485 писал(а):
что объём сферы равен нулю.

Шара конечно же, порой эти сфера и шар смешиваются, хотя это разные вещи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group