Объем фигуры

[oniksofers]

Требуется найти объем фигуры, задаваемой следующими неравенствами: $x^{2}+2y^{2}-z^{2}\leqslant a^{2}$ и $x^{2}+2y^{2}\geqslant 4z^{2}$ Построив эту фигуру, я обнаружил, условно говоря, конус, "сидящий" в однополосном гиперболоиде. Далее я нашел аппликату при которой эти поверхности пересекаются $z=\pm\frac{a}{\sqrt{3}}$. Пересекаются они по эллипсам $x^{2}+2y^{2}=\frac{4a^{2}}{3}$. Далее я перехожу от декартовой системе координат к цилиндрической:

$$x=r\cos{\varphi},y=\frac{r}{\sqrt{2}}\sin{\varphi},z=z$$

Мой интеграл преобразуется:

$$\iiint\limits_{V}{dxdydz}=\frac{1}{\sqrt{2}}\iiint\limits_{V'}{rdrdzd\varphi}$$

,
где область $V'$ задается следующими неравенствами:

$$r^{2}\leqslant a^{2}+z^{2},r^{2}\geqslant 4z^{2}$$

И мой интеграл преобразуется к:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{\frac{a}{\sqrt{3}}}{dz}\int\limits_{2z}^{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{rdr}$$

Однако когда я его беру, ответ не сходится с тем, что должно быть, так что я думаю, что я, определенно, где-то неправ.

[svv]

Для точек фигуры $r^2\geqslant 4z^2$, т.е. $r\geqslant 2|z|$. Без знака модуля в нижнем пределе переменная интегрирования $r$ при $z<0$ будет принимать и отрицательные значения, что некорректно геометрически и приводит к неверному значению интеграла.

[oniksofers]

svv в сообщении #1248789 писал(а):

Без знака модуля в нижнем пределе переменная интегрирования $r$ при $z<0$ будет принимать и отрицательные значения, что некорректно геометрически и приводит к неверному значению интеграла.

Спасибо, действительно модуль потерял.

$$\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\left(\int\limits_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{0}{dz}\int\limits_{-2z}^{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{rdr}+\int\limits_{0}^{\frac{a}{\sqrt{3}}}{dz}\int\limits_{2z}^{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{rdr}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\left(\int\limits_{-\frac{a}{\sqrt{3}}}^{0}{(a^{2}-3z^{2})dz}+\int\limits_{0}^{\frac{a}{\sqrt{3}}}{(a^{2}-3z^{2})dz}\right)=$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^{3}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^{3}\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Однако это не совпадает с ответом в задачнике.

[svv]

1. А какой ответ в задачнике? Под что подгонять будем?
Вы в таких случаях, пожалуйста, сразу оба ответа приводите, этим экономится время и усилия.

2. Я вижу, у Вас для верхней и нижней половинок фигуры получились разные объёмы. Но фигура-то, вроде бы, симметричная?

[redicka]

Не для всех а будет замкнутое тело. См.картинку.

[oniksofers]

svv в сообщении #1248844 писал(а):

А какой ответ в задачнике? Под что подгонять будем?

Авторы(Виноградова, Олехник) утверждают что ответ $\frac{29\pi\sqrt{2}a^{3}}{192}$

svv в сообщении #1248844 писал(а):

2. Я вижу, у Вас для верхней и нижней половинок фигуры получились разные объёмы. Но фигура-то, вроде бы, симметричная?

Это действительно странно, но в таком случае, я всё же не пойму, где ошибаюсь.

redicka в сообщении #1248899 писал(а):

Не для всех а будет замкнутое тело

В задачнике написано, что $a>0$, не более.

[redicka]

Как говорится: книга-книгой, а мозгами двигай

[svv]

Ответ в задачнике неправильный. Можно построить фигуру «цилиндр минус конус», которая является частью заданной фигуры (подробности опускаю). Её объём находится с помощью школьных формул, и он оказывается больше, чем в ответе авторов.

Правильный ответ получится, если здесь исправить знак:

oniksofers в сообщении #1248813 писал(а):

$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^{3}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}{\color{red}+}\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}\right)$

redicka
Пусть $a=\frac 3 2$. Тогда точка $P$ с координатами $x=\sqrt 3, y=0, z=\frac{\sqrt{3}}{2}$ лежит и на конусе, и на гиперболоиде. Но на левой картинке не видно их пересечения.

[redicka]

Виноват, пересечение будет при любом $a$, большем нуля.

[oniksofers]

Еще один пример: тело задается неравенствами:

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant R^{2},x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 2Rz$$

Геометрически - это пересечение двух эллипсоидов(сфер), переходя к сферической системе координат получаю следующее:

$$\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{R}{dr r^{2}}\int\limits_{\arccos{\frac{r}{2R}}}^{\pi}{d\theta \sin{\theta}}=\frac{11\pi R^{3}}{12}$$

В ответе же написано, что это $\frac{5\pi R^{3}}{12}$

[ewert]

oniksofers в сообщении #1249439 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{R}{dr r^{2}}\int\limits_{\arccos{\frac{r}{2R}}}^{\pi}{d\theta \sin{\theta}}=\frac{11\pi R^{3}}{12}$$

В ответе же написано, что это $\frac{5\pi R^{3}}{12}$

Посчитайте сумму этих ответов. Ни на какие мысли не наводит?...

(один из шести пределов неверен; соответственно, Вы посчитали объём не той части пространства, что была заказана)

[oniksofers]

ewert в сообщении #1249448 писал(а):

Посчитайте сумму этих ответов. Ни на какие мысли не наводит?

Объем сферы. Да уже увидел, что опечатался когда у себя неравенство писал, $\cos{x}\geqslant \frac{r}{2R}$ таинственным образом превратилось в $\cos{x}\leqslant\frac{r}{2R}$. Всем спасибо за помощь!

[ewert]

oniksofers в сообщении #1249463 писал(а):

Объем сферы.

Да. Хотя полезно всё-таки знать, что объём сферы равен нулю.

[oniksofers]

ewert в сообщении #1249485 писал(а):

что объём сферы равен нулю.

Шара конечно же, порой эти сфера и шар смешиваются, хотя это разные вещи.