Предел последовательности

[PlotF]

Здравствуйте. Никак не получается решить предел.
$\lim_{n\to \infty} \left\lbrace \frac{1}{5} -\frac{1}{25} +\ldots + (-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{5^n} \right\rbrace$
Пытался найти суммы четных и нечетных членов последовательности по отдельности, потом сложить и взять предел, но из этого ничего не вышло. Предполагаю, если привести к общему знаменателю что-то может получиться. Но общий член этой последовательности не получается вывести.
$\frac{5^{n-1} - 5^{n-2} + \ldots}{5^n}$

-- 20.09.2017, 17:19 --

Пока писал нашёл решение.
Четные члены
$S_{n1} = \frac{5^{n+1}}{5^2-1} $

Нечетные члены
$S_{n2} = \frac{5^n}{5^2-1} $

$ \frac{S_{n1} - S_{n2}}{5^n} = \frac{\frac{5^{n+1} - 5^n}{5^2 - 1}}{5^n} = \frac{1}{6}$

Правильно?

[wrest]

PlotF в сообщении #1249190 писал(а):

Пытался найти суммы четных и нечетных членов последовательности по отдельности, потом сложить и взять предел, но из этого ничего не вышло.

А чего не вышло-то? Какие суммы получились?

-- 20.09.2017, 16:24 --

PlotF в сообщении #1249190 писал(а):

Правильно?

Ответ правильный, да.
Одна сумма $5/24$, вторая $1/24$, разность $4/24=1/6$

[PlotF]

wrest
Большое спасибо.

[Sinoid]

PlotF в сообщении #1249190 писал(а):

Никак не получается решить предел.

Пределы не решают

wrest в сообщении #1249194 писал(а):

Ответ правильный, да.
Одна сумма $5/24$, вторая $1/24$, разность $4/24=1/6$

В бесконечной сумме слагаемые вообще следует переставлять осторожно. ТС это, по ходу, не понимает. Приведенное решение ему, скорее, навредило.

PlotF в сообщении #1249190 писал(а):

$\frac{1}{5} -\frac{1}{25} +\ldots + (-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{5^n} $

На что похожа эта частичная сумма, если посмотреть на нее, не переставляя слагаемые?

[svv]

И «не по отдельности» в фигурных скобках тоже всего лишь геометрическая прогрессия, только с отрицательным знаменателем — такие тоже бывают.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Надо же, написали одновременно. Такое тоже бывает.

[PlotF]

Sinoid
На что она похожа не знаю. Чередующийся ряд дробей с разными знаками. В школе про "бесконечные суммы" не рассказывают.

[ewert]

PlotF в сообщении #1253347 писал(а):

В школе про "бесконечные суммы" не рассказывают.

Зато вполне рассказывают про сумму бесконечной геометрической прогрессии.