Алгебра матриц Дирака

[watmann]

Здравствуйте,

разбираюсь с алгеброй матриц Дирака. Пытаюсь доказать базовые тождества:

1)$ \gamma_\nu a^\nu \gamma_\mu b^\mu+ \gamma_\mu b^\mu \gamma_\nu a^\nu =2(a \cdot b) I$
2)$\gamma_\mu \gamma_\mu a^\mu \gamma^{\mu}=-2 \gamma_\mu a^\mu$

На первом застопорилась сразу. Само выражение кажется интуитивно логичным исходя из антикомутатора: $\{\gamma_\mu, \gamma^{\nu}\}=\gamma_\mu \gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma_{\mu} = 2 g^{\mu \nu} I$.
Однако, я не могу понять, как я могу в итоге вынести $a^\nu$ и $ b^\mu$, что бы получить выражение антикомутатора.

Со вторым пошло лучше:
$\gamma_\mu \gamma_\mu a^{\mu} =2(a\cdot 1)I-\gamma_\mu a^{\mu} \gamma_{\mu} $ - из первого тождества
$(2(a\cdot 1)I-\gamma_\mu a^{\mu}\gamma_{\mu})\gamma^{\mu}=(2 a_{\mu}\gamma^\mu-4\gamma_\mu a^{\mu})I=-2\gamma_\mu a^{\mu}I$, где использовано то, что $\gamma_{\mu}\gamma^{\mu}=4I$
Вопрос в том, что в моём учебнике это выражение наведено без единичной матрицы (в случае с первым тождеством и $\gamma_{\mu}\gamma^{\mu}=4 I$ матрица прописана. Вот я и не могу понять, почему в этом случае мы выкидываем единичную матрицу.

Спасибо за помощь.
С уважением,
Лера

[warlock66613]

watmann в сообщении #1249000 писал(а):

почему в этом случае мы выкидываем единичную матрицу

Что получится, если умножить любую матрицу (например, $\gamma_{\mu} a^{\mu}$) на единичную матрицу?

[watmann]

warlock66613 в сообщении #1249008 писал(а):

Что получится, если умножить любую матрицу (например, $\gamma_{\mu} a^{\mu}$) на единичную матрицу?

Та же сама матрица.
Просто почему-то в моей книге в каком-то случае матрицу оставляют, а в каком-то нет. Но я начинаю подозревать, что это для того, что бы подчеркнуть, что остается справа не скаляр, а всё-таки матрица. По-крайней мере, для этого выражения получается логично: $\gamma_{\mu}\gamma^{\mu}=4I$

[warlock66613]

watmann в сообщении #1249013 писал(а):

для этого выражения получается логично: $\gamma_{\mu}\gamma^{\mu}=4I$

Для этого выражения (в отличие от $\gamma_{\mu} a^{\mu}I$) вы никак не можете выкинуть единичную матрицу, пользуясь правилом "любая матрица, умноженная на единичную даёт ту же самую матрицу".

Вы можете только опустить единичную матрицу для сокращения записи, подразумевая что при чтении этой формулы единичную матрицу надо мысленно восстанавливать. В вашем учебнике так, видимо, не делается, поэтому в одном случае ($4I$) матрица есть (и её нельзя убрать), в другом ($\gamma_{\mu} a^{\mu}$) её просто нету (хотя её можно дописать, но смысла в этом никакого).

[Slav-27]

watmann в сообщении #1249000 писал(а):

Однако, я не могу понять, как я могу в итоге вынести $a^\nu$ и $ b^\mu$, что бы получить выражение антикомутатора.

В смысле, вы не верите, что $ \gamma_\nu a^\nu \gamma_\mu b^\mu= a^\nu b^\mu \gamma_\nu \gamma_\mu $? Но почему? $a^\nu$ -- это ведь (при фиксированном $\nu$) число, а числа переставлять можно как угодно. Вот $\gamma_\mu$ с $\gamma_\nu$ нельзя переставлять, потому что это матрицы...

watmann в сообщении #1249000 писал(а):

$\gamma_\mu \gamma_\mu a^\mu \gamma^{\mu}=-2 \gamma_\mu a^\mu$

По-моему, это написано неправильно (не надо использовать одну и ту же букву для более чем одной пары индексов). Подозреваю, что подразумевается $\gamma_\mu \gamma_\nu a^\nu \gamma^{\mu}=-2 \gamma_\mu a^\mu$.

watmann в сообщении #1249000 писал(а):

$\gamma_\mu \gamma_\mu a^{\mu} =2(a\cdot 1)I-\gamma_\mu a^{\mu} \gamma_{\mu} $ - из первого тождества

Я рад, что вы считаете, что у вас получилось это доказать, но лично я вашего доказательства не понял (при том что доказывать это тождество умею). Во-первых, надо каждый индекс чтобы встречался не более чем два раза (и если два, то один раз сверху, один снизу). Во-вторых, что такое $(a\cdot 1)$? Это $\sum\limits_\mu a^\nu g_{\mu\nu}$? тогда ничего не получается.

[watmann]

Slav-27 в сообщении #1249022 писал(а):

$a^\nu$ -- это ведь (при фиксированном $\nu$) число, а числа переставлять можно как угодно.

Это моё непонимание видимо. Я как-то даже не задумывалась, что $a^\nu$ можно воспринимать как числа (отдельные компоненты), а не сразу весь 4-вектор. Хотя если даже посмотреть на само расписанное уравнение Дирака получается, что мы каждую компоненту 4-вектора дифференциалов умножаем на матрицы Дирака и суммируем. Видимо не вижу я ещё автоматически в одинаковых индексах суммирование.
Спасибо. Этот момент очень помог.

Slav-27 в сообщении #1249022 писал(а):

Я рад, что вы считаете, что у вас получилось это доказать, но лично я вашего доказательства не понял (при том что доказывать это тождество умею). Во-первых, надо каждый индекс чтобы встречался не более чем два раза (и если два, то один раз сверху, один снизу). Во-вторых, что такое $(a\cdot 1)$? Это $\sum\limits_\mu a^\nu g_{\mu\nu}$? тогда ничего не получается.

Да, я провтыкала момент что тут 4-вектора и скалярное умножение не совсем такое как я привыкла.
Альтернативный (я думаю более правильный вариант, надеюсь Вы его одобрите):
$\gamma_\mu \gamma_\nu a^\nu \gamma^\mu= a^\nu \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma^\mu = a^\nu(2 g_{\mu\nu}I-\gamma_\nu \gamma_\mu )\gamma^\mu=a^\nu(2 g_{\mu\nu}\gamma^\mu I-\gamma_\nu \gamma_\mu\gamma^\mu)$
Учитывая, что:
$g_{\mu\nu}\gamma^\mu=\gamma_\nu $
$\gamma_\mu \gamma^\mu = 4 I $
Получаем:
$a^\nu(2 g_{\mu\nu}\gamma^\mu I-\gamma_\nu \gamma_\mu\gamma^\mu )=(2 \gamma_\nu a^\nu -4 \gamma_\nu a^\nu)I= -2 \gamma_\nu a^\nu $

[Slav-27]

watmann
Теперь всё здорово.