Сопряженное подпространство и его базис

[hochu_no_ne_mogu]

Линейное пространство задано как множество решений однородной системы линейных уравнений.

Нужно построить систему однородных уравнений, задающих сопряженное подпространство и найти его базис.

Искал-искал в интернете, найти не смог. Знаю, что базис можно найти как ФСР из системы уравнений и наоборот, зная базис, можно перейти от его линейной оболочки к системе уравнений. А вот как перейти от подпространства к сопряженному не знаю. Подскажите, пожалуйста!

[pogulyat_vyshel]

Пусть $X=\mathbb{R}^m$ -- наше линейное пространство и $E\subset X$ подпространство, задаваемое системой уравнений. Дополним его до $X$ так $X=E\oplus F$. Тогда в качестве сопряженного к $E$ пространства можно взять $\{f\in X^*\mid f(F)=0\}$. В этом представлении должна возникнуть неоднозначность, связанная с выбором подпространства $F\subset X$.

[mihailm]

А что такое сопряженное подпространство?

[svv]

Присоединяюсь к вопросу mihailm.
Спору нет, линейные пространства $X$ и $E\subset X$ имеют сопряжённые им пространства $X^*$ и $E^*$. Но покажите естественный способ сопоставить пространству $E^*$ некоторое подпространство $X^*$ той же размерности.

[pogulyat_vyshel]

виноват, а это вопросы кому адресованы?

[Someone]

pogulyat_vyshel в сообщении #1248874 писал(а):

вопросы кому адресованы?

Судя по всему — Вам.

А что касается hochu_no_ne_mogu, то у меня есть подозрение (впрочем, не очень основательное), что он имеет в виду что-то другое, но использовал неправильный термин. Вот ему надо бы объяснить, в каком смысле у него "сопряжённое" подпространство. Обычно системами линейных уравнений задают не линейные пространства, а линейные подпространства в них.

[pogulyat_vyshel]

Ну если мне то это странновато , мягко говоря. Слов "сопряженное подпространство" я вообще не произносил. Я реализовал сопряженное к $E,\quad E\subset X$ пространство как подпространство в $X^*$. и указал, что эта реализация не определена однозначно, на что получил вопрос:

svv в сообщении #1248847 писал(а):

Но покажите естественный способ сопоставить пространству $E^*$ некоторое подпространство $X^*$ той же размерности.

[svv]

Someone в сообщении #1248885 писал(а):

у меня есть подозрение (впрочем, не очень основательное), что он имеет в виду что-то другое, но использовал неправильный термин

У меня тоже. Я думаю, что «подпространство, сопряженное к $E$» — это аннулятор $E$.

[pogulyat_vyshel]

а вот мне таки хотелось бы от svv
услышать как решается поставленная им\ей задача:

svv в сообщении #1248847 писал(а):

Но покажите естественный способ сопоставить пространству $E^*$ некоторое подпространство $X^*$ той же размерности.

а то вдруг я тут какое-нибудь откровение гениальное пропустил, полагая, что естественного способа нет

[svv]

Нет, Вы ничего не пропустили, такого способа нет. Имелось в виду «покажите этот способ, было бы интересно на него взглянуть».
Вы упомянули о неоднозначности, у меня к Вам вопросов нет.

[pogulyat_vyshel]

Да, я действительно упомянул о неоднозначности, раньше чем Вы тут появились. Не смотря на это Вы задаете вопрос про эту самую неоднозначность, причем в терминах, которые ввел я. А теперь выясняется, что это не мне. А зачем было этот вопрос задавать? Вы кого-то проэкзаменовать хотели, да? Результатом довольны?

[svv]

Простите, я несовершенен.