Рекуррентная формула для нега-позиционной СС

[kthxbye]

Возьмем несколько первых чисел натурального ряда в нега-двоичной системе счисления, а затем представим, что они записаны в двоичной, тогда для них справедлива рекуррентная формула:

$a_{4n+k}=4\cdot a_{n+1}+k,$

$n+k\geqslant3, 0\leqslant k\leqslant3$

Является ли она частным случаем следующей формулы:

$a_{nx^2+mx+k}=x^2\cdot a_{n+1}+x(x-m)+k,$

$n\geqslant1, 1\leqslant m\leqslant x, 0\leqslant k\leqslant x-1$

где $x$ - основание СС (как обычной, так и нега-позиционной)? Если да, то как это можно доказать?