Неравенство

[daogiauvang]

Дано неотрицательные числа $a, b$, чтобы $\frac{5a}{a+1}+\frac{2b}{b+1} \leq 1$.
Доказать, что $a^5b^2 \leq \frac{1}{6^7}$

[waxtep]

$b\le \frac{1-4a}{1+6a}\Rightarrow a^5b^2\le a^5(\frac{1-4a}{1+6a})^2$, максимум при $a=\frac{1}{6}$ и тогда также $b=\frac1{6}$

[arqady]

By AM-GM

$$1\geq6ab+4a+b\geq6\sqrt[6]{6ab\cdot a^4\cdot b}=6\sqrt[6]{6a^5b^2}$$

and we are done!

[daogiauvang]

Новое неравенство: дано $a_1, a_2, \cdots, a_n \geq 0$, чтобы $\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{1+a_i} \leq 1$.
Доказать, что $\prod_{i=1}^{n} a_i \leq \frac{1}{(n-1)^n}$

[arqady]

Because by AM-GM

$$\frac{1}{1+a_i}\geq\sum_{k\neq i}\frac{a_k}{1+a_k}\geq(n-1)\sqrt[n-1]{\frac{\prod\limits_{k\neq i}a_k}{\prod\limits_{k\neq i}(1+a_k)}}$$