Дифракция Фраунгофера на сдвинутой щели.

[user_ivan]

Создаю новую тему в продолжение предыдущей, потому что вопрос уж больно далеко ушёл от исходного. (topic118808.html)

Пытался найти дифракционную картину от решётки, и пришёл к странному результату.

Пусть есть щель шириной $2$. Как мы знаем, при дифракции Фраунгофера на экране получится поле, равное преобразованию Фурье от источника.

Возьмём преобразование Фурье:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \theta(x + 1 ) \theta(-x +1 ) e^{-ipx} dp $

Я пропущу выкладки, получим sinc-функцию.

$\operatorname{const} \cdot \frac{\sin(p)}{p}$

Окей, давайте собирать решётку из щелей. Как известно, преобразование Фурье линейно. Посчитаем Фурье от сдвинутой щели:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \theta(x + 1 + b) \theta(-x +1 + b ) e^{-ipx} dp $

Получим:

$\operatorname{const} \cdot \frac{\sin((b+1)p)}{p}$

Но это же абсолютно противоречит здравому смыслу!

Должно же получиться:

$\operatorname{const} \cdot \frac{\sin(p - b)}{p - b}$

А, стоять! Я же всё неправильно делаю. В скалярном-то произведении тоже сдвиг будет, ведь волны теперь из другого отверстия идут.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \theta(x + 1 + b) \theta(-x +1 + b ) e^{-i(p-b)x} dp $

Заменой переменных легко сводим интеграл к первому, потом возвращаемся к исходной переменной.

Получаем:

$\operatorname{const} \cdot \frac{\sin(p - b)}{p - b}$
(Где-то я тут немножко со знаками напутал...)

Но это уже никакое не преобразование Фурье. Но это и логично, ведь при сдвиге координат и направляющий вектор должен меняться на этот сдвиг.

Где здесь ошибка? В физике или в математике?

[Cos(x-pi/2)]

user_ivan
Попытайтесь записывать всё аккуратно и подробно; а иначе трудно понять, где у Вас ошибки, а где опечатки. По вашей записи видно, что:
1) под интегралом должно быть $dx,$ а не $dp.$
2) когда Вы в аргументах $\theta$-функций прибавили $b$ к полуширине щели $1,$ то получили не "сдвинутую щель", а щель с шириной $2(1+b).$
3) Вычитать параметр длины $b$ из волнового числа $p$ нельзя, у них разные размерности.

user_ivan в сообщении #1247578 писал(а):

Но это и логично, ведь при сдвиге координат и направляющий вектор должен меняться на этот сдвиг.

Совершенно нелогично. Если $p$ - волновой вектор падающего света; то ему по барабану координаты щелей, и в любом случае он из-за размерности не может изменяться "на этот сдвиг".

-- 14.09.2017, 16:05 --

И вообще, желательно сформулировать задачу: "физические условия такие-то, даны такие-то величины", найти такие-то величины". А у Вас выписаны некие выражения, но ни одного знака равенства нет; каков физ. смыл преобразования Фурье, которое Вы делаете, Вы не пояснили... Получилась не физика, а упражнение на взятие интегральчика. Наверное, если в задаче требуется найти "поле на экране", то надо вычислять что-то, что зависит от координат точек на экране.

[user_ivan]

Эх, если бы я ещё видел эти ошибки...

Давайте ещё раз. Извините.

Сначала решим простую задачу.

• Есть маска в виде бесконечной пластинки, в которой есть щель ширины 2, бесконечной длины, с центром в начале координат. (То есть, на самом деле, одномерный случай.)
  
• На щель падает монохроматическая плоская скалярная волна. Иными словами, интенсивность на экране равна $\theta( x + 1 )\theta( 1 - x )$
  
• На расстоянии 1 от маски есть экран.
  
• В пределе дифракции Фраунгофера распределение поля на экране будет преобразованием Фурье.
  
• Посчитаем преобразование Фурье: $\int_{-\infty}^{\infty} \theta(x+1 ) \theta( 1-x)\cdot e^{-ixp} dx = \frac{2\sin(p)}{p}$

Это классический результат, есть в любом учебнике по оптике.

Модифицируем условие. Теперь щель имеет центр не в $0$, а в $b$. Ну, давайте для простоты сделаем $b=5$.

Иными словами, мы просто перекладываем линейку на пять сантиметров по оси $x$, ну и p, соответственно, тоже.

Здравый смысл говорит нам, что от этого ничего не должно измениться. Вернее, распределение поля должно сдвинуться на пять сантиметров в другую сторону. Иначе просто не может быть! Ну не может распределение зависеть от системы отсчёта!

Что же будет в математике?

• Считаем преобразование Фурье от сдвига (здесь я так крупно налажал со сдвигом, что просто ужас, спасибо вам огромное, что заметили!):
  $\int_{-\infty}^{\infty} \theta(x+1-5) \theta(5+ 1-x)\cdot e^{-ixp} dx = \frac{2e^{5ip}\sin(p)}{p}$

Что??? Как так получилось? Мало того, что ответ комплексный (можно взять действительную часть). Но он ещё центрирован в нуле!

Не, с точки зрения взятия преобразования Фурье, всё логично. Сдвиг по оси $x$ даёт домножение на комплексную экспоненту, а у неё центр симметрии в нуле.

Но с точки зрения сдравого смысла это абсолютно не соответствует действительности. Мы же только подвинули линейку!

Где же у меня ошибка? А, я же когда делал сдвиг, сделал сдвиг только у одной части интеграла. В показателе экспоненты-то тоже надо было сделать сдвиг.

• Считаем преобразование Фурье от сдвига:
  $\int_{-\infty}^{\infty} \theta(x+1-5) \theta(5+ 1-x)\cdot e^{-i(x-5)(p-5)} dx = \frac{\sin(p-5)}{p-5}$

Во! Вот так правильно! Ровно то, что соответствует здравому смыслу. Сдвинули линейку -- сдвинули картинку. (И даже знаки сошлись.)

Однако, это совсем не то, что делают в учебниках по оптике. В учебниках преобразуемое выражение сдвигают на параметр, а коэффициент в экспоненте -- нет.

Вот место, которое я не понимаю: "А почему?"

Второй вопрос, в расширение первого:
Если первый вопрос решается утверждением навроде "в первом случае сдвиг маленький, а во втором большой", то что такое "большой", а что такое "маленький"?

Третий вопрос, следующий из предыдущего:
Пусть есть бесконечная решётка, для простоты одномерная.
Рассмотрим точку $0$, над которой центр щели. Поскольку преобразование Фурье линейно, соседние щели добавляют к её синусу свои синусы, помноженные на комплексные экспоненты. В результате получается гребёнка из дельта-функций. Это снова стандартная задача, приводящаяся в любом учебнике по оптике.

Но потом мы снова сдвинем линейку. И получим сдвинутую картинку.

Получается, какие-то щели будут "первого сорта", под которыми будет "собственный" синус, а какие-то щели будут "второго сорта", и будут только добавлять вклад в синусы щелей "первого сорта".

Вопрос, по какому принципу щели будут относиться к первому сорту, а по какому -- ко второму?

Ещё раз извините за опечатки.

[Cos(x-pi/2)]

user_ivan в сообщении #1247853 писал(а):

"А почему?"

Давайте посмотрим, например, в учебнике Борна и Вольфа, как выводится упомянутый "классический результат" (я сейчас туда посмотрел, и тогда только вроде понял, что Вас беспокоит). В вашем примере суммируются идущие от щели к точке наблюдения волны $\exp(iks),$ где $s$ - расстояние от элемента щели до точки наблюдения, $k=2\pi / \lambda$ - величина волнового вектора.

Вместо вашей координаты $x$ на экране с щелью давайте будем писать $\xi,$ как у Борна с Вольфом. Пусть $x$ - координата точки наблюдения на экране, расположенном на расстоянии $s'$ от экрана с щелью. В роли точек отсчета для $\xi$ и для $x$ пусть выбраны точки пересечения с указанными экранами перпендикулярной к ним прямой.

Из чертежа (здесь я его не буду рисовать, а себе на бумажке не поленился изобразить) видно, что при этих условиях $s^2=s'^2+(\xi - x)^2$ - величина, не зависящая от одновременного сдвига точек отсчёта координаты $\xi$ на экране с щелью и координаты $x$ на экране наблюдения. Но! Дальше при выводе "классического результата" считается, что начало отсчёта фиксировано в середине щели, что размер щели (пусть это будет полуширина щели $a$) мал по сравнению с $s',$ и координата $x$ мала в том же смысле, так что можно пренебречь квадратичным членом $\xi^2$ и $x^2.$ Тогда приближённо

$s \approx s'-\dfrac{x \xi}{s'}=s'-p \xi \, ,$ где $p=x/s'$ (вот что такое $p$ на самом-то деле :-)

Это приближённое выражение уже утратило независмость от выбора начала отсчёта. Причём именно это выражение ведёт далее к тому "классическому результату", который Вы пытаетесь применять: поле в точке наблюдения пропорционально интегралу от $\exp(-ikp\xi)$ по $\xi$ внутри щели. Как Вы знаете, для щели с полушириной $a$ такое приближение даёт:

$A(p)=\int\limits_{-a}^a \, e^{-ikp \xi} \, d\xi=2a \dfrac{\sin(kpa)}{kpa} \, .$

Но для щели, сдвинутой от прежнего начала отсчёта на произвольное расстояние $b,$ нельзя написать такой же интеграл, потому что теперь отбрасывание $\xi^2$ становится необоснованным. Надо вернуться к выводу выражения для $s$ и учесть член $\xi^2$ (потому что он далее при замене переменной интегрирования даст существенное линейное по $\xi$ слагаемое, пропорциональное $b\xi).$ Вот новое приближённое выражение, учитывающее $\xi^2:$

$s \approx s'-\dfrac{x \xi}{s'}+\dfrac{\xi^2}{2s'} \, .$

Подставляем его в показатель подынтегральной экспоненты $-iks.$ Интегрирование по $\xi$ теперь ведётся в пределах от $-a+b$ до $a+b.$ Делаем замену переменной итегрирования: вместо $\xi$ подставляем $\xi+b,$ где новая $\xi$ пробегает значения от $-a$ до $a,$ как и в случае не сдвинутой щели. Тогда показатель экспоненты (которая остаётся под знаком интеграла) принимает следующий вид:

$-ik(\xi+b)p+ik \, \dfrac{\xi^2+2\xi b+b^2}{2s'} \, .$

Здесь уже можно, как и раньше, отбросить $\xi^2,$ и можно отбросить не зависящее от $\xi$ и $p$ слагаемое (постоянный сдвиг фазы). Зависящая от $\xi$ часть показателя подынтегральной экспоненты:

$-ik\xi(p-b/s') \, ,$

так что в результате интегрирования получим для сдвинутой щели $A(p-b/s')$ (вместо $A(p)$ для для щели с центром в начале отсчёта).

Таким образом, при более-менее аккуратном выводе желаемый сдвиг параметра $p$ возникает автоматически, его не надо делать "руками". Но уже зная этот результат (физически очевидный), можно не делать каждый раз вывод, а сразу руками сдвигать $p$ в готовом ответе для $A(p).$

(P.S. Здесь обозначение $A(p)$ - моя отсебятина, в книге такого нет. В книге см. раздел 8.3.3).

[sergei1961]

Дифрация Фраунгофера-разве там можно отбрасывать квадратичный член в экспоненте? Там же тогда все выводы неверны. Отсюда модель Френеля с корректным объяснением явления, в математику-интегралы Френеля с квадратичными экспонентами и тд. Я не специалист, но в маткнигах про квадратичное преобразование Фурье так написано.

[Cos(x-pi/2)]

sergei1961
Кратко не перескажу аргументацию; см. стр. 352 - 354 в книге Борна и Вольфа "Основы оптики", вывод формулы (36) .

[sergei1961]

Всё-таки ещё раз про разницу Фраунгофер/Френель. Математики меня учили так. Описание дифракции по Фраунгоферу не просто приближённо, а качественно неверно, так как для опыта Фраунгофера получается сплошной спектр, а не наблюдаемые расщеплённые линии. Или надо псевдоматематически извращаться для этой модели, вводить дополнительные предположения и исскуственные издевательства над обычным пр. Фурье. Дифракция же по Френелю как минимум даёт наблюдаемый результат без извращений. Математически это означает, что для описания данного явления недостаточно обычного преобразования Фурье с линейными экспонентами в аргументах, то есть описания с обычными плоскими волнами, а нужно квадратическое преобразование Фурье с характерами второго порядка (оно же дробное пр. Фурье, пр. Фурье-Френеля и ещё много названий).
Это не так?

[user_ivan]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1248014 писал(а):

<...>
(P.S. Здесь обозначение $A(p)$ - моя отсебятина, в книге такого нет. В книге см. раздел 8.3.3).

О! Вот это я понял! Замечательно понятно объяснено!

Правильно я понимаю, что картинка будет "зубастые" максимумы напротив каждой из щелей? Где неформально говоря, "зубы" будут происходить из-за вклада соседей?

И напротив каждой щели будет свой максимум?

[Cos(x-pi/2)]

user_ivan в сообщении #1248658 писал(а):

И напротив каждой щели будет свой максимум?

Вероятно, надо всё-таки отличать "дифракционную решётку" от "деревянного забора с дырками".

Посмотрите на приведённую выше формулу для $A(p)$ - в ней аргументом является не просто параметр $p=x/s',$ а величина $kpa.$ Можно сказать, что значения функции $A(p)$ вблизи главного максимума сравнительно мало отличаются от максимального, то есть, грубо говоря, являются почти постоянными, когда $|kpa|<1.$

В случае "щели в заборе" размер щели $a$ очень большой по сравнению с длиной волны света $\lambda,$ то есть $ka \gg 1,$ поэтому главному максимуму функции $A(p)$ cоответствует область малых значений параметра $p.$ Другими словами, каждая щель в заборе даёт более-менее узкую засветку на экране напротив себя. Применять ко всему забору обсуждаемую здесь формулу преобразования Фурье (с одними линейными членами в показателе экспоненты) не следует.

В случае "дифракционной решётки" размер одной щели $a$ гораздо меньше, чем в деревянном заборе, величина $ka$ может быть порядка единицы, и поэтому максимум функции $A(p)$ широкий. Грубо говоря, здесь каждая щель даёт более-менее равномерную засветку в широкой области значений координаты $x$ на экране наблюдения: $|x|_{\max} \sim s',$ где $s'$ - большое расстояние между экраном наблюдения и решёткой.

А поскольку расстояние $b$ между щелями в дифракционной решётке тоже маленькое (по сравнению с расстоянием $s'$ до экрана наблюдения), то засветки от многих щелей решётки сильно перекрываются друг с другом на экране наблюдения. В этом случае основной интересующий нас эффект - не дифракция на краях каждой отдельной щели, а интерференция вкладов в световое поле от многих щелей в области сильного перекрытия их "засветок".

Преобразование Фурье с одними только линейными членами не выявляет сдвига засветок от разных щелей по координате $x$ вдоль экрана наблюдения, но легко выявляет фазовый сдвиг $bp$ для волн, приходящих а точку наблюдения (в области перекрытия засветок) от каждой пары соседних щелей в дифракционной решётке. (При этом сам интеграл $A(p),$ без фазового множителя $e^{ipb},$ в интересующей нас основной области "перекрытия засветок" можно в грубом приближении вообще считать константой, не представляющей интереса).

sergei1961

sergei1961 в сообщении #1248588 писал(а):

Это не так?

Будет хорошо, если в этой теме ответят знатоки оптики.

(Я не спец, и не стану опровергать то, чему Вас учили математики. Знаю только, что "качественная верность" или "неверность" модели зависит от задачи: что хотим уловить, а чем готовы пожертвовать. Дифракционная решётка в приближении Фраунгофера рассмотрена в том числе и в ЛЛ-2, и вроде без "псевдоматематических извращений". Ещё пример: даже простенькая формула Брэгга (основанная только на расчёте линейных сдвигов фаз) вполне на практике годится для изучения строения кристаллических решёток. Вероятно, не следует вне конкретного контекста провозглашать "качественную неверность" сильно упрощённых моделей.)