Предел последовательности

[art_kg]

mihaild в сообщении #1248302 писал(а):

Пусть предел равен $a$. Возьмем $b \neq a$. Возьмем $\varepsilon < \frac{|a - b|}{2}$. Пусть при $n > N$ все $x_n$ лежат в $U_\varepsilon(a)$. Что можно сказать про $x_n$ ($n > N$) и $U_\varepsilon(b)$?

$x_n$ ($n > N$) - не знаю, что сказать. По идеи вы сами при про них сказали:
при $n > N$ все $x_n$ лежат в $U_\varepsilon(a)$
$U_\varepsilon(b)$ - как бы не совсем понял что это значит (так же как и $U_\varepsilon(a)$ ), сказать что то совсем трудно)

[gefest_md]

art_kg в сообщении #1248311 писал(а):

$U_\varepsilon(b)$ - как бы не совсем понял что это значит

Обычная $\varepsilon$-окрестность точки $b$ на оси (отличная от $a$ по условию).

[provincialka]

art_kg в сообщении #1248298 писал(а):

как определению вычисляет эту возможность

"По определению вычисляЮт" или "определениЕ вычисляет"? Какое-то оно у вас слишком самостоятельное, определение это!

Может, на примере попробовать? Докажем, что $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac1n$ не равен $0,5$. Рассмотрим окрестность точки $0,5$ радиуса $\varepsilon=1$. Что это за промежуток? Откладываем от $0,5$ влево и вправо число $1$, получаем интервал $(-0,5;1,5)$. Ясно, что в этот промежуток попадают все члены последовательности $a_n=\frac1n$.

Возьмем теперь $\varepsilon$ поменьше, например, $\varepsilon=0,2$. Какие числа $x$ находятся в такой окрестности числа $0,5$? Те, для которых $|x-0,5|<0,2$, то есть $x$ из интервала $(0,3;0,7)$. Ну так решим двойное неравенство, $0,3<\frac1n<0,7$, оно выполняется для $\frac1{0,7}<n<\frac1{0,3}$, то есть для $1,42...<n<3,3...$. Как видим, подходят только значения $n = 2, n=3$. А ведь мы хотели, чтобы в окрестности $b$ лежали все члены последовательности, начиная с некоторого!

Заметьте, что из двух неравенств $\frac1n<0,7$ и $\frac1n>0,3$ полезным нам оказалось второе! Потому что именно оно показывает, что элементы последовательности отделены от истинного значения предела, то есть от $0$.

Попробуйте теперь обобщить это рассуждение на любое значение $\varepsilon$.

[arseniiv]

(Хм, кстати, а не были ли проблемы с пониманием в том, что было неясно, как именно раскрывается отрицание утверждения «предел последовательности равен $a$»?)