Маленький вопрос про функциональное уравнение

[icego]

Здравствуйте!
У меня такой вопрос, можно ли функциональное уравнение $f(f(x))=1-f(x)$ заменить на уравнение $f(-f(x))=1+f(x)$. Вроде бы они являются эквивалентными, но хотелось бы уточнить.

[mihaild]

Нет, не эквивалентны (в частности легко найти решение первого, не являющееся решением второго).

[arseniiv]

icego
Если хотели везде поменять $f$ на $-f$, в одном месте забыли.

[icego]

arseniiv в сообщении #1248295 писал(а):

icego
Если хотели везде поменять $f$ на $-f$, в одном месте забыли.

Нет, именно в этих двух местах. Но получается, что так делать нельзя.

[mihiv]

Если искать решения среди функций, у которых область определения и область значений равны, например, $\mathbb {R}$, то вроде бы уравнения эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение $f(x)=1-x$.

[kotenok gav]

mihaild в сообщении #1248294 писал(а):

в частности легко найти решение первого, не являющееся решением второго

Какое?

[icego]

mihiv в сообщении #1248307 писал(а):

Если искать решения среди функций, у которых область определения и область значений равны, например, $\mathbb {R}$, то вроде бы уравнения эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение $f(x)=1-x$.

Да, функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
А доказать это без предъявления функции возможно? Не очень ясно, почему решение единственное.

[mihiv]

icego в сообщении #1248355 писал(а):

Не очень ясно, почему решение единственное.

Возьмем произвольное действительное число $c$. Поскольку область значений функции $\mathbb {R}$, то найдется такое $x$, что $f(x)=c$, а поскольку область определения также $\mathbb {R}$, то мы можем в уравнении вместо $f(x)$ подставить $c$. Таким образом функция должна иметь вид: $f(c)=1-c$, с другой стороны эта функция действительно удовлетворяет уравнению.
То же справедливо и для второго уравнения.

[sergei1961]

Если есть производные, то вроде сводится к $f'(f(x))=-1$, кроме тех точек, в которых производная обращается в нуль. Этого не достаточно для решения при данных предположениях?

[DeBill]

icego в сообщении #1248355 писал(а):

Да, функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Нет, это означает лишь, что функция принимает значения в $\mathbb{R}$ (может, и не все...)
Пример: функция равна $1-x$ на отрезке от 0 до 1, 0 - правее 1, и 1 - левее 0: первому удовлетворяет, а второму - нет.

[VPro]

$f(x) \equiv \frac12$