Доказательство необходимости и достаточности

[gogoshik]

Банальный вопрос. Если требуется доказать, что (гипотетический пример): Для того, чтобы $k $ делилось на $n$, необходимо и достаточно, чтобы $k \cdot n = m$, то доказательство достаточности - это когда нужно показать, что $k \cdot n = m$ следует делимость $k $ на $n$, а доказательство необходимости это наоборот, когда доказываю, что из делимости $k $ на $n$ следует соотношение $k \cdot n = m$, или не так?

[grizzly]

gogoshik в сообщении #1248106 писал(а):

или не так?

В принципе так, но в данном гипотетическом примере перепутаны почти все буквы и не хватает нескольких слов

[Mikhail_K]

gogoshik, Вы правильно поняли, что такое необходимость и достаточность.
Но вот это

gogoshik в сообщении #1248106 писал(а):

Для того, чтобы $k $ делилось на $n$, необходимо и достаточно, чтобы $k \cdot n = m$

попросту неверно.

[gogoshik]

Спасибо )
Хм. Но я не придавал значение тому что написано. В итоге получилась глупость. Вообще то я хотел сказать вот что. Есть некоторое утверждение, которое нужно доказать. Вариант такого утверждения - "Для того, чтобы выполнялось (условие или свойство $A$) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (свойство B)". Думаю что можно сказать короче, что то в этом роде - "Свойство $A$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется свойство B". Это же будет равносильно первому утверждению и способ доказательства по идее будет тот же самый?

[Mikhail_K]

Да, это в точности одно и то же.

[gogoshik]

Mikhail_K, скажите, почему тогда в разных книжках и теоремах пишут по разному? Нет однозначности. Где-то "необходимо и достаточно", а где-то "тогда и только тогда". Причем "необходимость и достаточность", как я вижу, еще больше всех запутывает, особенно новичков. Не все любители математики сразу понимают, что и как в этом случае надо доказывать. С "тогда и только тогда" кажется проще. Запомнил значок $\Leftrightarrow$, ну и доказывай сначала в одну сторону $\Rightarrow$, а потом в обратную.

[provincialka]

gogoshik
Ну... вы слышали что такое "синонимы"? И в научных текстах они бывают... Например "сходится" и "имеет предел".

Вы считаете, что термин "необходимо и достаточно" менее удачный? Хм... как-то не замечала этого. Можете считать, что он дает возможность потренировать свои способности к пониманию.

[Mikhail_K]

gogoshik в сообщении #1248235 писал(а):

почему тогда в разных книжках и теоремах пишут по разному?

Ну это просто синонимы.

----------

Хотя, определённый смысл есть. Ведь часто приходится говорить только о необходимости или только о достаточности. В общем-то,

"для $A$ необходимо $B$" = "$A$ только тогда, когда $B$" = "если $A$, то $B$";

"для $A$ достаточно $B$" = "$A$ тогда, когда $B$" = "если $B$, то $A$".

Но фразы "тогда" или "только тогда" поодиночке как-то не прижились.
А использовать "если-то" бывает не очень удобно вот почему. Чаще всего, $A$ - это интересующее нас утверждение, а $B$ - какое-то условие справедливости этого утверждения. И эстетичнее сначала упоминать $A$, потом $B$ - в конструкции "если-то" этого нет.

Вот и говорят: "необходимо", "достаточно".

----------

С другой стороны, когда условие и необходимое, и достаточное одновременно - сказать "тогда и только тогда" как-то быстрее и проще, чем "необходимо и достаточно". Поэтому и так говорят.

Как-то так. Но голову этим забивать не надо

[gogoshik]

Mikhail_K в сообщении #1248240 писал(а):

Как-то так. Но голову этим забивать не надо

Спасибо. А чем тогда надо забивать голову? ) Гвозди, слышал, забивают молотком )

[arseniiv]

А голову, очевидно, микроскопом.