Лебеговая мера на R. Размышления

[slu4ayniyProcess]

При взгляде на меру Лебега на R с точки зрения связи с реальным миром прямо так и хочется спросить, а зачем так все усложнять.
Посмотрим на интеграл Лебега.
(все отрезки, про которые пойдет речь далее, не пересекаются между собой)
Да понятно, что интеграла Римана скорее всего недостаточно. Ну ведь одного отрезка и правда мало. Зачем себя ограничивать одним отрезком. Вот допустим хочется на двух отрезках померить интеграл. Тут можно взять два раза Римана и сложить. Да и в целом если у нас есть n отрезков. Берем себе n интегралов Римана, складываем и все хорошо.
А что если взять счетное кол-во отрезков. Берем по каждому интеграл Римана и суммируем полученный ряд. Вроде и тут все честно.

Допустим кто-то решит возразить, и скажет, а что если взять интервал (a,b) и удалить оттуда все рациональные числа. Как ты тут своего Римана возьмешь? Но ведь интеграл Лебега от полученного множества равен интегралу Римана от (a,b). Да конечно если бы мы не построили теорию интеграла Лебега, то не узнали бы этого наверняка. Но неужели, вся сложность только ради подтверждения этого факта?

И собственно вот какие размышления дальше. Если вспомнить как вводится мера Лебега. Сначала вводится класс множеств получающийся из класса множества всех отрезков при помощи конечного и счетного объединения отрезков между собой (назовем этот класс А). (И как я указал вначале, с интегралами по множествам этого класса, отлично справляется Риман.) Далее вводится мера на нем, как сумма длин непересекающихся интервалов. И далее вводится собственно сама мера Лебега как число равное верхней мере множества при условии, что она равна нижней мере. Верхняя мера множества при этом - это нижняя грань мер всех множеств из класса А, которые включают в себя данное множество. То есть это по сути предел числовой не возрастающей последовательности. И каждое из чисел этой последовательности соответствует какому то множеству из класса А, в которое вложено данное множество.

Как мы знаем, что если взять монотонную последовательность (не возрастающую) борелевских множеств, то мера предела этой последовательности равна пределу мер множеств этой последовательности. Таким образом т.к. множества из класса А суть борелевские множества, то для каждого измеримого по Лебегу множества, существует такое борелевское множество (назовем его М.), мера которого совпадает с мерой данного множества, и при этом существует не возрастающая последовательность вложенных борелевских множеств имеющая своим пределом М., что данное множество вложено в каждое множество данной последовательности.

Так вот Борелевские множества, это конечно хорошо, но тоже как то сложновато. А множества из класса А просто и понято. К тому же с ними Риман прекрасно справляется. И я задумался, а можно ли провернуть как выше с измеримым и борелевским множеством, но только для борелевского и множества из класса А.
И тут вспоминается пример, который я привел вначале с множеством всех точек из интервала (a,b) за минус всех рациональных (Оно суть борелевское) и множества всех точек интервала (a,b) (оно суть множество из класса А). Первое вложено во второе, и их меры равны. А по второму к тому же можно интеграл Римана взять. Ну ведь прекрасно же.

Точная формулировка вопроса наверное какая то такая: Можно ли для каждого борелевского множества найти такое множество из класса А, что первое будет вложено во второе и их меры будут равны?

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1246874 писал(а):

Точная формулировка вопроса наверное какая то такая: Можно ли для каждого борелевского множества найти такое множество из класса А, что первое будет вложено во второе и их меры будут равны?

Нет. Возьмите, например, любое канторово множество положительной меры (канторово=замкнутое нигде не плотное без изолированных точек).

Классом, удовлетворяющим "свойству A", будет, например $F_{\sigma}$ или $G_{\delta}$.

[slu4ayniyProcess]

g______d в сообщении #1246881 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1246874 писал(а):

Точная формулировка вопроса наверное какая то такая: Можно ли для каждого борелевского множества найти такое множество из класса А, что первое будет вложено во второе и их меры будут равны?

Нет. Возьмите, например, любое канторово множество положительной меры (канторово=замкнутое нигде не плотное без изолированных точек).

Выходит борелевские множества все таки нужны ради предельного перехода в монотонных последовательностях множеств, чтобы быть уверенными, что мы сможем посчитать меру полученного предельного множества.

И чисто интервалами и их счетными объединениями нам в этом случае не отделаться. Т.к. построенная только при помощи множеств такого типа монотонная последовательность в пределе может дать, множество не принадлежащее этому классу.

Поэтому строится теория меры лебега, и показывается что существует единственная функция, обладающая такими же свойствами как мера счетного объединения отрезков (Которая "естественна" с точки зрения эмпирических фактов из реального мира. Хотя на счет естественности счетных объединений я загнул. Но по крайней мере для конечных объединений все сходится, а тот факт, что и для счетных работает, как бонус.), но которая к тому же умеет мерить и множества другого типа, получаемые при помощи предельного перехода.
Причем предел мер равен мере предела, так, что мы можем посчитать меру этого абстрактного множества (борелевского множества, получаемого предельным переходом), основываясь на "естественных" мерах "не абстрактных" множеств.

Все верно?

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1246902 писал(а):

И чисто интервалами и их счетными объединениями нам в этом случае не отделаться.

Не отделаться, потому что счётное пересечение счётных объединений интервалов не сводится к тому или другому, и это можно повторять дальше, получая всё более широкие классы множеств. Кроме того, так можно повторять бесконечно много раз, а потом ещё повторять, получая всё новые классы. Борелевская $\sigma$-алгебра получится, если мы объединим классы, соответствующие всем достижимым ординалам.

Понятно, что "минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая интервалы" во многих отношениях звучит проще, чем конструкция с ординалами.

Всё остальное мне сложно прокомментировать, потому что слишком многосмысленно написано.

[demolishka]

slu4ayniyProcess в сообщении #1246874 писал(а):

а зачем так все усложнять.

Мера Лебега нужна не столько для того, чтобы мерить экзотические множества, сколько для того, чтобы определить интеграл для более широкого класса функций. Основным достоинством является полнота класса $L^1[a,b]$ абсолютно суммируемых по Лебегу функций на отрезке $[a,b]$. Если посмотреть иначе и в пространстве непрерывных функций $C[a,b]$ рассмотреть интегральную норму $\|f\|=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$, то выясняется, что $L^1[a,b]$ есть пополнение этого пространства. С такой точки зрения, интеграл Лебега есть самое что ни на есть естественное расширение обычного интеграла для непрерывных функций.

[slu4ayniyProcess]

demolishka в сообщении #1246996 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1246874 писал(а):

а зачем так все усложнять.

Мера Лебега нужна не столько для того, чтобы мерить экзотические множества, сколько для того, чтобы определить интеграл для более широкого класса функций. Основным достоинством является полнота класса $L^1[a,b]$ абсолютно суммируемых по Лебегу функций на отрезке $[a,b]$. Если посмотреть иначе и в пространстве непрерывных функций $C[a,b]$ рассмотреть интегральную норму $\|f\|=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$, то выясняется, что $L^1[a,b]$ есть пополнение этого пространства. С такой точки зрения, интеграл Лебега есть самое что ни на есть естественное расширение обычного интеграла для непрерывных функций.

Получается, что если мы возьмем фундаментальную последовательность непрерывных на отрезке функций (следовательно интегрируемых по Риману.), то пределом этой последовательности может быть функция, мало того, что разрывная, так еще и не интегрируемая по Риману. То есть такая функция, для которой разность верхней и нижней сумм Дарбу не сходится к нулю при стремлении к нулю наибольшей длины подинтервалов последовательности разбиений нашего интервала. Но при этом разность верхней и нижней сумм Дарбу от последовательности разбиений нашего отрезка на борелевские множества, которые нельзя померить Жордановой мерой, но можно Лебеговой, будет стремиться к нулю, при стремлении к нулю самой большой меры Лебега от последовательности разбиений отрезка на борелевские множества? То есть интеграл Лебега всегда существует в таком случае.

[ewert]

slu4ayniyProcess в сообщении #1247117 писал(а):

Получается, что если мы возьмем фундаментальную последовательность непрерывных на отрезке функций (следовательно интегрируемых по Риману.), то пределом этой последовательности может быть функция, мало того, что разрывная, так еще и не интегрируемая по Риману. То есть такая функция, для которой разность верхней и нижней сумм Дарбу не сходится к нулю

Она (предельная функция) может тупо оказаться неограниченной. Тогда о пределе разности сумм Дарбу говорить вообще не придётся -- верхняя из них окажется попросту бесконечной.

Но принципиальна, конечно, не возможность интегрирования неограниченных функций -- с этим в практически значимых случаях прекрасно справляются несобственные интегралы. Самое главное, как уже было сказано demolishka -- что интеграл Лебега обеспечивает полноту функциональных пространств с интегральными нормами.

А преимущество самой лебеговой меры перед жордановой ровно в том, что она обеспечивает замкнутость множества измеримых множеств относительно их счётных объединений.

[slu4ayniyProcess]

ewert писал(а):

Она (предельная функция) может тупо оказаться неограниченной. Тогда о пределе разности сумм Дарбу говорить вообще не придётся -- верхняя из них окажется попросту бесконечной.

Да действительно. Одной непрерывности на отрезке для каждой функции последовательности мало. Нужно, чтобы они все были равномерно ограничены. Но как вы написали, суть вопроса в другом.

ewert писал(а):

Интеграл Лебега обеспечивает полноту функциональных пространств с интегральными нормами.

На сколько знаю для полноты функционального пространства, достаточно интегральной нормы основанной на интеграле Римана. А интеграл Лебега в этом случае нужен, чтобы мерить некоторые функции полученные пополнением не полного пространства. То есть интеграл Лебега не обеспечивает полноту, а дает гарантии, что мы можем "померить" все самое интересное. Или я не прав?
(Под "мерить" по отношению к функциям, понимаю разумеется интегрирование.)

Так вот, давайте вернемся к "практичности". То, что при помощи интеграла Лебега мы можем померить более широкий класс функций (к тому же полный, то есть мы можем без зазрения совести "баловаться" предельными переходами) это конечно хорошо. Но мерить экзотические функции просто потому что можем - это "скучно". Хотелось бы делать это с какой то целью.
Отсюда получается, что случайным образом функция, которую нельзя померить Риманом, но можно Лебегом, появиться не может. Для начала процесса ее измерения нужны какие то предпосылки.
Самым логичным для меня способом отыскать функцию "интересную" для измерения (причем, чтобы Риманом нельзя было померить) является использование предельного перехода. Возможно, что такие функции можно отыскать и каким-нибудь другим способом, но у меня идей нету. Поэтому вернемся к нашему предельному переходу. И предположим, что мы нашли какое то логичное обоснование в том, что функция полученная этим путем, интересна нам с практической точки зрения. А точнее интересен интеграл от нее. И на этом шаге выясняется, что интеграл Римана, тут не применить, т.к. верхняя и нижняя сумма Дарбу по последовательности измеримых по Жордану разбиений не хотят сходиться друг к другу (оставим пока за бортом неограниченные функции или функции на множестве бесконечной меры). И тут нам на помощь приходит Лебег, и говорит, что суммы Дарбу по последовательности измеримых по Лебегу разбиений сходятся друг к другу.

Отсюда резюмируем по порядку(рассматриваем для простоты только пространство действительных чисел R):
1) Длина интервала это хоть и абстрактная вещь, но наиболее приближена к реальности.
Свойство конечной аддитивности длины интервала а также ее неотрицательность тоже соотносится с наблюдениями из реальности.
Свойство счетной аддитивности длины интервала уже полностью абстрактно. (т.к. в реальности вроде как кол-во всего, даже элементарных частиц, конечно) но оно логически выводится из конечной аддитивности, неотрицательности, а также некоторых аксиом мат. анализа.
Опасаюсь назвать эту меру Жордановой, т.к. не помню точного определения. Поэтому буду называть далее эту меру - мерой интервала.
2) Далее собственно предлагается определение так называемой меры Лебега. Учитывая, применяемый в определении предельный переход, мера Лебега является чисто абстрактной вещью. Но у нее имеется несколько преимуществ:
a) Для интервалов она совпадает с мерой интервала.
б) Она имеет те же самые свойства что и мера интервала, но для более широкого класса множеств.
в) Она является единственной функцией обладающей свойствами a) и б).
Отсюда делаем вывод, что если борелевские множества и можно "измерить линейкой", то самый лучший с точки зрения наблюдений из реальности кандидат на это - мера Лебега.
3) Интеграл Римана - полностью абстрактная вещь. (опять же из-за предельного перехода). И на что он больше всего похож в реальности, даже боюсь начинать размышлять. Просто отмечу, что его вычисление для функций имеет определенную практическую ценность.
Определение интеграла Римана основано на мере интервала из пункта 1).
Интеграл Римана, вычисляется от функций, которые мы можем определенным образом соотнести с чем то в реальном мире. Ну или хотя бы представить себе эти функции в уме. Например непрерывные на отрезке функции.
4) Функция получаемая предельным переходом (по интегральной норме) примененным к последовательности непрерывных и равномерно ограниченных на отрезке функций имеет для нас некоторый практический смысл. К примеру это может быть серия наблюдений какого нить процесса из реальности, и каждое наблюдение мы представляем себе в виде непрерывной на отрезке функции. Опять же по наблюдениям из реальности мы понимаем закономерность, по которой каждое следующее наблюдение изменяется по отношению к предыдущему, а также что значения применяемые всеми получаемыми функциями из всех наблюдений не превышают определенного заранее известного конечного значения, то есть эти функции равномерно ограничены. Далее из наблюдаемой закономерности делается вывод, что последовательность функций сходится(по интегральной норме) к какой то функции.
Также для нас имеет практическую ценность значение интеграла Римана от каждой из функций последовательности.
5) И вот так получилось, что эта самая функция полученная предельным переходом может иметь более сложную природу нежели непрерывные функции. Мы не можем ее представить в уме или изобразить на бумаге. То есть она еще более абстрактна, чем непрерывная функция. Но тем не менее она интересна нам, с практической точки зрения. А именно нам интересен интеграл от нее.
И пытаясь вычислить интеграл Римана, мы сталкиваемся с тем, что суммы Дарбу не сходятся. Поэтому максимум, что мы получаем, это промежуток от нижнего интеграла до верхнего интеграла. Причем данный интервал может быть весьма широким.
6) Интеграл Лебега - еще более абстрактная вещь, чем интеграл Римана. Но совпадает с ним в случае, когда функция интегрируема по Риману. И обладает, теми же свойствами, что и интеграл Римана. Не знаю правда, является ли интеграл Лебега единственной функций, обладающей своими свойствами.
Интеграл Лебега определен на основе меры Лебега.
Интеграл Лебега можно посчитать от функций из пункта номер 4).
Из всего этого делается вывод, что если уж мы и хотим вычислять метрику аналогичную, метрике, которую нам дает интеграл Римана, но для более широкого класса функций, то Интеграл Лебега для этого как минимум отличный кандидат.
7) Отвечаю на свой же вопрос: Зачем же вводить эту самую меру Лебега с практической точки зрения?
Если нам интересно считать метрику даваемую нам интегралом Римана, от функций от которых интеграл Римана не возможно посчитать, так, чтобы все свойства этой метрики сохранялись, и она была в некотором смысле наиболее приближенной к реальным наблюдениям по отношению ко всем метрикам, которые можно ввести в нашем случае.

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1247572 писал(а):

На сколько знаю для полноты функционального пространства, достаточно интегральной нормы основанной на интеграле Римана.

Не достаточно. Выше это даже упоминалось. Пространство с нормой $(R)\int_0^1 |f(x)|\,dx$ не является полным. Можно рассмотреть его пополнение. Объекты пополнения будут некоторыми абстрактными классами эквивалентных фундаментальных последовательностей. Чтобы их сделать не абстрактными, а конкретными, нужен интеграл Лебега (что тоже выше упоминалось).

[slu4ayniyProcess]

g______d писал(а):

Не достаточно. Выше это даже упоминалось. Пространство с нормой $(R)\int_0^1 |f(x)|\,dx$ не является полным. Можно рассмотреть его пополнение. Объекты пополнения будут некоторыми абстрактными классами эквивалентных фундаментальных последовательностей.

У Кудрявцева(мои знания в области функциональных пространств ограничиваются его трехтомником), на этом построение пространства Лебега заканчивается. Вскользь упоминается про существование интеграла Лебега.
Поэтому упустил из вида, что нужно будет определить скалярное произведение для нового полного пространства, а сделать это можно будет только с использованием интеграла Лебега.
Спасибо, что поправили.

g______d писал(а):

Чтобы их сделать не абстрактными, а конкретными, нужен интеграл Лебега (что тоже выше упоминалось).

Тут хочется поподробнее. Раз уж рассматриваем эту тему.
Давайте рассмотрим эти абстрактные классы эквивалентных фундаментальных последовательностей. Они сходятся очевидно к конкретным функциям, которые принадлежат полному пространству. И мы рассматриваем сходимость по нашей интегральной метрике, которая (метрика всмысле) определена внутри неполного метрического пространства через интеграл Римана.
И тут нам интеграл Лебега еще не нужен.
А становится нужен в новом полном метрическом пространстве при определении метрики.
При этом если мы рассмотрим фундаментальную последовательность элементами которой являются "абстрактные классы эквивалентных фундаментальных последовательностей", то она будет сходится уже по новой метрике(через интеграл Лебега) и уже в новом полном пространстве к "абстрактному классу эквивалентных фундаментальных последовательностей", то есть к такому элементу полного метрического пространства, который можно получить из элементов предыдущего неполного метрического пространства, используя метрику на основе интеграла Римана.
Или нет?

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1247579 писал(а):

Они сходятся очевидно к конкретным функциям, которые принадлежат полному пространству. И мы рассматриваем сходимость по нашей интегральной метрике, которая (метрика всмысле) определена внутри неполного метрического пространства через интеграл Римана.

Не получится. Чтобы сказать "сходятся к конкретным функциям", вам придётся написать $\|f_n-f\|=\int_{[0,1]}|f_n(x)-f(x)|\,dx$, который существует, вообще говоря, только в смысле Лебега, потому что в нём фигурирует $f$.

Если вы хотите поточечную сходимость, то она тоже имеет место только почти везде (и уже здесь нужны множества меры ноль), да и то только на подпоследовательности.

-- Ср, 13 сен 2017 20:27:34 --

Кроме того, сам факт, что элементы пополнения являются функциями, не так тривиален. Во-первых, они будут только классами эквивалентных функций (и это принципиально, иначе норма не будет удовлетворять свойству $\|f\|=0$ только для $f=0$). Во-вторых, существуют нормы на гладких функциях, которые можно определить с помощью интеграла Римана, которые при пополнении дают не функции, а распределения. Например, $W_2^{-1}$.

[demolishka]

slu4ayniyProcess в сообщении #1247579 писал(а):

Давайте рассмотрим эти абстрактные классы эквивалентных фундаментальных последовательностей. Они сходятся очевидно к конкретным функциям, которые принадлежат полному пространству.

Стандартный пример, когда элементы пополнения функционального пространства являются не совсем функциями, это пополнение пространства $C[0;1]$ с нормой

$$\|f\| = |f(0)|+\int\limits_{0}^{1}|f(x)|dx.$$

Пополнение -- пространство $\mathbb{R} \times L^1[0,1]$ с нормой $\|(x,f)\| = |x|+\|f\|_{L^1}$. Можно сказать, что элементы этого пространства есть классы эквивалентности абсолютно суммируемых функций с выделенным значением в нуле.

[g______d]

demolishka в сообщении #1247628 писал(а):

Можно сказать, что элементы этого пространства есть классы эквивалентности абсолютно суммируемых функций с выделенным значением в нуле.

Мне этот пример не очень нравится, потому что это тоже $L^1$, но по другой мере (Лебега с дополнительным зарядом в нуле), и его элементы -- функции в том же смысле, что и в обычном $L^1$, с другим отношением эквивалентности.

[slu4ayniyProcess]

Вот есть свойство интеграла Лебега, заключающееся в том, что если последовательность интегрируемых по Лебегу функций сходится к функции на всем множестве точек, кроме быть может множества меры ноль, то эта функция интегрируема по Лебегу и ее интеграл равен пределу последовательности интегралов исходной последовательности.

Правильно ли я понимаю, что это свойство эквивалентно факту полноты функционального пространства с интегральной нормой?

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1248036 писал(а):

Вот есть свойство интеграла Лебега, заключающееся в том, что если последовательность интегрируемых по Лебегу функций сходится к функции на всем множестве точек, кроме быть может множества меры ноль, то эта функция интегрируема по Лебегу и ее интеграл равен пределу последовательности интегралов исходной последовательности.

Нет такой теоремы.