Задача из вариационного исчисления с ограничением

[vnet]

Условие. Дан функционал

$J(f) = \int_0^{+\infty} e^{-5x} \ln(f(x)) dx \, .$

Найти такую функцию f(x), которая доставляет максимум этому функционалу, со следующими ограничениями:

• $f(x) > 0$ для всех $x$
• $\int_0^{+\infty}f(x)dx = 1 \, .$

Мой подход к решению. Первое, что я сделал - это подставил вместо f(x) экспоненциальную функцию плотности вероятности: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$. Просто интуитивно - под ограничения она подходит, да и выглядит "подходяще". Оказалось, что решить задачу максимизации $J(f)$ относительно $\lambda$ достаточно несложно - среди всех экспоненциальных ФПВ максимум доставляется функцией $f(x) = 5 e^{-5x}$.

Дальше сложнее - нужно понять, является ли данное решение максимумом среди всех возможных $f(x)$ произвольного вида, удовлетворяющих ограничениям. Люди, знакомые с вариационным исчислением, сказали мне, что да, $f(x) = 5 e^{-5x}$ действительно максимум $J(f)$. А чтобы доказать, посоветовали использовать уравнение Эйлера-Лагранжа.

Итак, у нас функционал вида $J(f) = \int_0^{+\infty} L(x, f(x)) dx$. Согласно уравнению Эйлера-Лагранжа, экстремум функционала достигается при ${dL \over df} = 0$. Вот тут у меня всё и расклеивается - я подставляю $f(x) = 5 e^{-5x}$ в $L(f)$, и производная у меня выходит ${dL \over df} = {1 \over 5} (\ln 5 - 5x + 1)$, что явно не ноль. Интуиция подсказывает мне, что это от того, что я не учел ограничение $\int_0^{+\infty}f(x)dx = 1 \, .$ Вот только как его сюда вставить - ума не приложу.

Буду благодарен любому, кто наставит меня на путь истинный - или в рамках моего текущего решения, или какого-то другого :)

[Brukvalub]

В классическом вариационном исчислении есть раздел "Изопериметрические задачи". Попробуйте ознакомиться с этим разделом и применить его методы к вашей задаче.

[vnet]

Спасибо. Согласно принципу решения изопериметрической задачи, минимум исходного функционала $J(f)$ достигается тогда, когда ${d(e^{-5x} \ln f(x) + \lambda f(x)) \over df} = 0$. Подставляя $f(x) = 5 e^{-5x}$, я получаю по уравнению Эйлера-Лагранжа $-x + \lambda + {\ln 5 \over 5} + {1 \over 5}$ - что тоже самое, что получал раньше, только с лямбдой. Очевидно, это выражение не равно нулю ни при какой константной лямбде. Я что-то делаю не так или $f(x) = 5 e^{-5x}$ все-таки не экстремум?

[deep down]

Вы написали условие минимизации. Ничего туда не нужно подставлять, просто найдите $f$, при котором будет равенсто нулю.

[CptPwnage]

Если я не сошел с ума, то

$$\frac{\delta (e^{-5x} \ln f(x) + \lambda f(x))}{\delta f} = \frac{e^{-5x}}{f(x)} + \lambda, $$

отсюда

$$\lambda f(x) = e^{-5x},$$

и $\lambda$ находится из условия на интеграл от $f(x)$ - ответ как у вас.