"А почему?"
Давайте посмотрим, например, в учебнике Борна и Вольфа, как выводится упомянутый "классический результат" (я сейчас туда посмотрел, и тогда только вроде понял, что Вас беспокоит). В вашем примере суммируются идущие от щели к точке наблюдения волны

где

- расстояние от элемента щели до точки наблюдения,

- величина волнового вектора.
Вместо вашей координаты

на экране с щелью давайте будем писать

как у Борна с Вольфом. Пусть

- координата точки наблюдения на экране, расположенном на расстоянии

от экрана с щелью. В роли точек отсчета для

и для

пусть выбраны точки пересечения с указанными экранами перпендикулярной к ним прямой.
Из чертежа (здесь я его не буду рисовать, а себе на бумажке не поленился изобразить) видно, что при этих условиях

- величина, не зависящая от одновременного сдвига точек отсчёта координаты

на экране с щелью и координаты

на экране наблюдения. Но! Дальше при выводе "классического результата" считается, что начало отсчёта фиксировано в середине щели, что размер щели (пусть это будет полуширина щели

) мал по сравнению с

и координата

мала в том же смысле, так что можно
пренебречь квадратичным членом 
и

Тогда приближённо

где

(вот что такое

на самом-то деле :-)
Это приближённое выражение уже утратило независмость от выбора начала отсчёта. Причём именно это выражение ведёт далее к тому "классическому результату", который Вы пытаетесь применять: поле в точке наблюдения пропорционально интегралу от

по

внутри щели. Как Вы знаете, для щели с полушириной

такое приближение даёт:

Но для щели, сдвинутой от прежнего начала отсчёта на произвольное расстояние

нельзя написать такой же интеграл, потому что теперь отбрасывание

становится необоснованным. Надо вернуться к выводу выражения для

и учесть член

(потому что он далее при замене переменной интегрирования даст существенное линейное по

слагаемое, пропорциональное

Вот новое приближённое выражение, учитывающее


Подставляем его в показатель подынтегральной экспоненты

Интегрирование по

теперь ведётся в пределах от

до

Делаем замену переменной итегрирования: вместо

подставляем

где новая

пробегает значения от

до

как и в случае не сдвинутой щели. Тогда показатель экспоненты (которая остаётся под знаком интеграла) принимает следующий вид:

Здесь уже можно, как и раньше, отбросить

и можно отбросить не зависящее от

и

слагаемое (постоянный сдвиг фазы). Зависящая от

часть показателя подынтегральной экспоненты:

так что в результате интегрирования получим для сдвинутой щели

(вместо

для для щели с центром в начале отсчёта).
Таким образом, при более-менее аккуратном выводе желаемый сдвиг параметра

возникает автоматически, его не надо делать "руками". Но уже зная этот результат (физически очевидный), можно не делать каждый раз вывод, а сразу руками сдвигать

в готовом ответе для

(P.S. Здесь обозначение

- моя отсебятина, в книге такого нет. В книге см. раздел 8.3.3).