Чтобы сумма любой пары чисел делилась на...

[Ktina]

При каких натуральных $n$ можно все натуральные числа от 0 до 2017 разбить на пары так,
чтобы сумма любой пары чисел делилась на $n$?

[Dmitriy40]

$n=1, 1009, 2017$.

(Разбиения на пары)

$n=1:$ да любое.
$n=1009: (0, 1009), (i, 1009-i), (1009+i, 2018-i), i=1 \ldots 504.$
$n=2017: (i, 2017-i), i=0 \ldots 1008.$

[Ktina]

Dmitriy40
Большое спасибо!

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Удивительным было обнаружить число $1009$. И не обнаружить $2$, долго пытался впихнуть все нечётные числа в пары - и никак не получалось ... И только когда пытался с $n=3$ разобраться понял общий принцип и нашёл $1009$.

[Мастак]

Так еще есть способы образования пар, например, как бы "нарубить" линейку от 1 до 2016 на
4, на 6, ..., на целое число кусков длины n. И в каждой паре последовательно следующих кусков составлять пары следующим образом: если длина двух кусков 2n, то пары с точки M=2kn предыдущих пар (M,M+n) (M-1,M+n+1) (M-2,M+n+2) ....

[zhekas]

Мастак в сообщении #1247131 писал(а):

Так еще есть способы образования пар, например, как бы "нарубить" линейку от 1 до 2016 на
4, на 6, ..., на целое число кусков длины n. И в каждой паре последовательно следующих кусков составлять пары следующим образом: если длина двух кусков 2n, то пары с точки M=2kn предыдущих пар (M,M+n) (M-1,M+n+1) (M-2,M+n+2) ....

Не существует.
Если сумма всех пар делится на k. То и сумма всех чисел делится на k. А сумма всех чисел равна 1009*2017. Так что остаётся либо 1, либо 1009, либо 2017

[PETIKANTROP]

zhekas
Верно.
Можно вывести общую формулу для нахождения любого натурального n:
n=d
d ($2\cdot S $/n=$ a_1$+a_i)
где d - делители
S - сумма всех членов последовательности
$a_1$ - первый член последовательности
$a_i$ - последний член последовательности

[Мастак]

zhekas в сообщении #1247137 писал(а):

Мастак в сообщении #1247131 писал(а):

Так еще есть способы образования пар, например, как бы "нарубить" линейку от 1 до 2016 на
4, на 6, ..., на целое число кусков длины n. И в каждой паре последовательно следующих кусков составлять пары следующим образом: если длина двух кусков 2n, то пары с точки M=2kn предыдущих пар (M,M+n) (M-1,M+n+1) (M-2,M+n+2) ....

Не существует.
Если сумма всех пар делится на k. То и сумма всех чисел делится на k. А сумма всех чисел равна 1009*2017. Так что остаётся либо 1, либо 1009, либо 2017

Неа, не так.
В условии от 0 до 2017, и 0 не натуральное числе - следовательно концы интервала не
входят наверно. Тогда линейку от 1 до 2016 возможно нарубить на равные
куски по-разному, например, наше n может быть равно 12 и нарубили на равные
168 кусков, и набираем пары, покрывая все числа из диапазона, то есть:
(1,23) (2,22) (3,21)...(11,13) (12, 24) (25,47) (26,46) ...

Если 2017 (простое число) входит, то пар чисел просто нет: количество чисел
в диапазоне нечетно, либо есть пара (0,2017) ... для n=2017. А предлагаемый
мной алгоритм нарубки на возможные пары целых частей длины n тогда возможно применить к диапазону 1..2018 (, что просто смещенный диапазон 0..2017).

[Dmitriy40]

Мастак в сообщении #1247269 писал(а):

В условии от 0 до 2017, и 0 не натуральное числе - следовательно концы интервала не входят наверно.

Это лично Ваша придумка и совсем другая задача. И она будет иметь решение например $n=2$ (чётные с чётными в паре, а нечётных чисел чётное количество и их тоже можно собрать по парам).
А ТС очень уж часто включает $0$ в $\mathbb{N}$, причём молча, без уточнений.

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1247287 писал(а):

А ТС очень уж часто включает $0$ в $\mathbb{N}$, причём молча, без уточнений.

Но не в данном случае.

[Мастак]

Dmitriy40 в сообщении #1247287 писал(а):

Мастак в сообщении #1247269 писал(а):

В условии от 0 до 2017, и 0 не натуральное числе - следовательно концы интервала не входят наверно.

Это лично Ваша придумка и совсем другая задача. И она будет иметь решение например $n=2$ (чётные с чётными в паре, а нечётных чисел чётное количество и их тоже можно собрать по парам).
А ТС очень уж часто включает $0$ в $\mathbb{N}$, причём молча, без уточнений.

В моем алгоритме, предлагаемом в топике, надо сперва разделить на пары равных кусков (количество пар от 1 пары и больше) и уже, беря четные и нечетные числа из кусков формировать пары. "Длина" кусков может быть нечетна, но количество кусков четно.