Что такое математика и ее связь с физикой?

[granit201z]

Только не блокируйте меня на этом форуме за "лженауку" - я не претендую на безоговорочную свою правоту. Просто я очень любознательный и задаю вопросы. Так вот, насколько я понимаю математика лишь прикладная наука. По сути она возникла из потребности человека объяснить происходящее, т.е. физику. Но наблюдаемая "физика", в свою очередь лишь ничтожно малая часть математики. Поскольку истина по физике - это значит теория: а) не противоречащая самой себе и б) не противоречащая эксперименту. Для математики понятия эксперимента, насколько я понимаю не существует, т.е. математическая теория ограничивается только непротиворечивостью самой себе. Значит понятие фальсифицируемости для математики не имеет смысла. Можно ли тогда вообще относить математику к науке?

[arseniiv]

Ну, и математика — не прикладная наука (в целом — а так есть прикладные разделы), и физика — не часть математики. Она даже работает по-другому, являясь естественной наукой (математика не является).

granit201z в сообщении #1247185 писал(а):

Можно ли тогда вообще относить математику к науке?

Наука $\ne$ естественная наука. В любом случае, если перестать причислять математику к наукам, ничегошеньки не изменится.

[Munin]

granit201z в сообщении #1247185 писал(а):

Так вот, насколько я понимаю математика лишь прикладная наука. По сути она возникла из потребности человека объяснить происходящее, т.е. физику.

Как что-то возникло, и что оно представляет собой сейчас, - это две большие разницы.

granit201z в сообщении #1247185 писал(а):

Можно ли тогда вообще относить математику к науке?

На эту тему есть разные мнения, и аргументы весомые у обеих сторон. По сути, это скорее вопрос о том, что подразумевать под словом "наука".

Общепризнано, что математика - не относится к естественным наукам, таким как физика. Естественные науки изучают природу в экспериментах и наблюдениях.

Принцип фальсифицируемости к математики напрямую не применяется. Хотя и здесь есть варианты: в математике высказываются гипотезы, которые потом либо подтверждаются (доказываются и становятся теоремами), либо опровергаются.

[granit201z]

Цитата:

Хотя и здесь есть варианты: в математике высказываются гипотезы, которые потом либо подтверждаются (доказываются и становятся теоремами), либо опровергаются.

Доказываются и опровергаются логическими приемами в рамках рассматриваемых теорий? Но что положено в основу этих теорий? Ведь, насколько я понимаю, аксиомы любой теории не доказываются. Ну и построенные на разных высказываниях теории могут рано или поздно начать противоречить друг другу?

[Munin]

granit201z в сообщении #1247220 писал(а):

Ну и построенные на разных высказываниях теории могут рано или поздно начать противоречить друг другу?

Нет. Раз они построены на разных высказываниях, то они "живут в разных мирах".

-- 12.09.2017 15:39:30 --

granit201z в сообщении #1247220 писал(а):

Но что положено в основу этих теорий?

Аксиомы, которые математики выбирают по принципу "интересно было бы рассмотреть такие аксиомы" и "кажется, такие аксиомы описывают ряд известных примеров".

[granit201z]

А логические приемы и "логические законы" тем не менее используются одни и те же?

[arseniiv]

Иногда одинаковые, иногда разные, но для начала можно считать, что одинаковые — классическая логика первого порядка. И вообще если попытаться рассмотреть сразу всю математику формально, получится очень много теорий.

-- Вт сен 12, 2017 17:56:20 --

Но вряд ли есть смысл как-то упрощённо рассказывать картину нематематику. Включитесь — сами увидите. А нет — так и смысла нет от такого скомканного полузнания.

[Munin]

Есть несколько вариантов логических законов. Они тоже "разные миры". Большинство математиков придерживается одного варианта, а другие варианты считают не такими интересными. Все эти варианты похожи между собой. Различия между ними интересны только небольшой части математиков, а другие математики работают в других областях, и им интересны другие вещи: например, разные варианты геометрий, разные варианты чисел, некоторых более сложных понятий.

[granit201z]

Так а с чего лучше "включаться", чтобы проще было "добраться" до всей "картины" в целом? С математической логики? С формальной логики? С теории множеств? Какая часть менее опирается на другие, но в свою очередь все эти другие в большей степени на первую?

[arseniiv]

Munin в сообщении #1247238 писал(а):

а другие варианты считают не такими интересными

Кстати, интересность тут уже, получается, не единственное. Интуиционистская логика интереснее классической, но её можно также считать в некоторых случаях ненужным усложнением (а ещё большим считать рассмотрение промежуточных между ними логик).

granit201z в сообщении #1247241 писал(а):

Так а с чего лучше включаться, чтобы проще было? С математической логики? С формальной логики? С теории множеств? Какая часть менее опирается на другие, но в свою очередь все эти другие в большей степени на первую?

Во-первых, не с вопроса темы. Во-вторых, основания математики — это не совсем то, что нужно знать, чтобы представление математики в голове было прямо-таки цельным и основательным, и не то, что можно хорошо понять, не имея представлений об остальной математике заранее. В-третьих, «формальная логика» означает в зависимости от степени вольности автора либо матлогику, либо недоразумение, которое кто-то считает логикой, основанное на силлогистике — давно устаревшем аппарате. В-четвёртых, если говорить о теории множеств, есть элементарная теория, которой обычно посвящаются первые главы некоторых учебников (матанализ, дискретная математика), а есть, ну, вся, которая довольно сильно связана с матлогикой и не является хорошим началом. И, опять же, даже элементарная теория без примеров из чего-то конкретного впрок не пойдёт.

Это то, что не надо делать. Что надо делать, зависит от ваших интересов и того, насколько они вообще конкретны, и про это, в принципе, уже полно тем на форуме.

[granit201z]

Под "формальной логикой" я имел ввиду то, что написано в учебнике В.Ф. Асмуса - "Логика" 1947г.

[Xaositect]

granit201z в сообщении #1247243 писал(а):

Под "формальной логикой" я имел ввиду то, что написано в учебнике В.Ф. Асмуса - "Логика" 1947г.

Учебник 1947 - это безнадежно устарело. Даже в главе о несиллогистических рассуждениях нет никакого упоминания об исчислении предикатов или множествах. Читайте лучше Льюса Кэрролла (Символическая логика, 1890), у него то же самое, но хотя бы задачи смешные.

-- Вт сен 12, 2017 15:13:48 --

Если хотите, читайте хотя бы современные учебники для философов, Бочаров, Маркин "Введение в логику" хотя бы приличный, хотя естественно без теорем о полноте и неполноте, то есть для понимания математических теорий совершенно недостаточно.
А лучше сразу сюда: post773882.html#p773882

[Munin]

granit201z в сообщении #1247241 писал(а):

Так а с чего лучше "включаться", чтобы проще было "добраться" до всей "картины" в целом? С математической логики? С формальной логики? С теории множеств? Какая часть менее опирается на другие, но в свою очередь все эти другие в большей степени на первую?

Увы, нет царского пути в математику.

Можно только обозреть в общих чертах список её разделов. В "картину в целом" они не складываются, по крайней мере в одну.

И начинать "снизу" - очень медленный путь к тому, чтобы освоить что-то центральное. Хотя часто он практикуется в преподавании, но с другой целью: чтобы знания были основательные и без пробелов (правда, на практике это удаётся кое-как).

Для изучения математики можно начинать с теории множеств, но глубоко погружаться в неё не стоит, а хватит небольшого введения. В основном, необходимо хорошо освоить числа $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C},$ основы алгебры и основы геометрии.

Для понимания современного изложения математики, также стоит понимать хотя бы немного язык категорий и коммутативных диаграмм.

arseniiv в сообщении #1247242 писал(а):

Кстати, интересность тут уже, получается, не единственное. Интуиционистская логика интереснее классической

Кому как.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не знаю, я прихожу к мнению, что если рассматривать разные вещи, должно быть трудно не заметить, что она богаче интересностями, чем классическая, и можно найти несколько оснований рассматривать её как более естественную, а классическую — как самое сильное её «упрощение», от которого есть толк (дальше только противоречивые системы). Потому ясно, в чём польза классической (всё наиболее просто, и плюс она уже популярна), и почему её появление в истории раньше более вероятно. Но эта простота, можно сказать, иногда чрезмерна — попробуйте придать смысл классической тавтологии $((p\to q)\to p)\to p$, например — а вот интуиционистские тавтологии, на мой личный взгляд, всё-таки более-менее ясные. При этом при желании находясь в интуиционистской теории, мы всегда можем «закрыться в классической», дважды отрицая что-нибудь.

И, надеюсь, вы не ожидаете от чистой логики той же интересности, как от какой-то теории на её основе (e. g. сравнивая чистую инт. логику с классической ZFC). Хотя выше я немного окрасил ситуацию, на деле всё-таки всё неоднозначнее. Упомянутый выше закон Пирса в соответствии Карри—Говарда является типом функции call/cc, в принципе, не настолько уж непонятной (кажется, я понял её сейчас во второй или третий раз), чтобы наводить тень на классическую логику. Хотя и сама call/cc не безгрешна.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1247293 писал(а):

Не знаю, я прихожу к мнению, что если рассматривать разные вещи, должно быть трудно не заметить, что она богаче интересностями, чем классическая

Для тех, кто занимается именно логикой, - возможно.

Однако для большинства математиков их интересы лежат сильно в другой области, и эти "интересности" им по барабану. Они пользуются логикой всего лишь как простым надёжным инструментом, и далеко не главным в своей работе. Точно так же, как многие математики пользуются стандартными $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C},$ хотя есть и много других числовых систем, возможно, более интересных. Точно так же, как многие электрики ходят в простых ботинках, а не модных платформах. Точно так же, как многие лекторы пишут обычным маркером, хотя бывают светящиеся с блёстками.