интеграл от произведения функций Бесселя

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Помогите пожалуйста взять следующий интеграл. Различные справочники вроде Рыжика, Прудникова, а также Maple и Mathematika не смогли ответить, хотя интеграл достаточно простой.
$\int\limits_{0}^{1}\frac{J_{m}(\mu_{i,m}x)J_{m}(\mu_{k,m}x)}{x}dx$ , где $m$ целое число, $J_{m}(x)$ - функция Бесселя $m$-го порядка, $\mu_{i,m}$ - $i-й корень функции Бесселя $m-го порядка . Заранее спасибо.

[Vince Diesel]

Для $i=k$ в математике можно получить ответ в двух формах: 1) в общем виде как регуряризованную гипергеометрическую функцию

$$ 4^{-m} \Gamma (2 m) \mu_{m,i}^{2 m} \, _2\tilde{F}_3\left(m,m+\frac{1}{2};m+1,m+1,2 m+1;-\mu_{m,i}^2\right), $$

2) частные случаи которой выражаются через функции Бесселя:

$$ \begin{array}{cc} m& \text{} \\ 1 & \frac{1}{2}-\frac{1}{2} J_0\left(\mu _{1,i}\right){}^2 \\ 2 & -\frac{1}{2} J_0\left(\mu _{2,i}\right){}^2+\frac{J_1\left(\mu _{2,i}\right) J_0\left(\mu _{2,i}\right)}{\mu _{2,i}}-\frac{1}{2} J_1\left(\mu _{2,i}\right){}^2-\frac{J_1\left(\mu _{2,i}\right){}^2}{\mu _{2,i}^2}+\frac{1}{4} \\ 3 & -\frac{8 J_0\left(\mu _{3,i}\right){}^2}{3 \mu _{3,i}^2}-\frac{1}{2} J_0\left(\mu _{3,i}\right){}^2+\frac{32 J_1\left(\mu _{3,i}\right) J_0\left(\mu _{3,i}\right)}{3 \mu _{3,i}^3}-\frac{1}{2} J_1\left(\mu _{3,i}\right){}^2+\frac{4 J_1\left(\mu _{3,i}\right){}^2}{3 \mu _{3,i}^2}-\frac{32 J_1\left(\mu _{3,i}\right){}^2}{3 \mu _{3,i}^4}+\frac{1}{6} \\ \end{array} $$

При $i\ne k$ не считает даже для простейших частных случаев. Так что не исключен вариант, что и нет выражения через гипергеометрические функции.

[volchenok]

спасибо большое, что уделили время и рассмотрели частные случаи. Я тоже склоняюсь к ответу, что в общем случае такой интеграл, хоть и простой на первый взгляд, аналитически не взять. Прийдется считать его численно.

[g______d]

Если бы $x$ был не в знаменателе, а в числителе, то всё было бы намного проще...