Мат ожидание среднего по длине отрезка

[MestnyBomzh]

Есть $x, y \sim R(0;1)$, то есть две СВ распределенные равномерно на [0;1]. Они (в общем случае) разбивают отрезок на три части: маленькая, средняя и большая. Найти МО длины средней части.

Мои догадки: пусть $Z$ - СВ, длина средней части. Найдем функцию распределения. Для начала понятно, что: $F_Z(0) = 0, F_Z(0.5) = 1, F_Z (0+\varepsilon) > 0, F_Z(0.5 - \varepsilon) < 1$. Дальше у меня в голову пришла идея, что функция распределения должна быть линейной и непрерывной. Как доказать - не знаю. Исходя из этих двух предположений получаем, что $F_Z (x) = 2x, x \in [0;0.5]$, ну а дальше легко находим МО, которое равняется $\frac{1}{4}$
У меня один вопрос: верно ли мое предположение по линейности и непрерывности?

[Munin]

MestnyBomzh в сообщении #1245014 писал(а):

Дальше у меня в голову пришла идея, что функция распределения должна быть линейной и непрерывной.

Ну, это вряд ли.

[ewert]

Действуйте тупо и в лоб. Значение функции распределения для длины средней части, т.е. соотв. вероятность, задаётся некоторым неравенством с модулем на иксы и игреки. Нарисуйте эту область на квадрате, выпишите её площадь и продифференцируйте, чтобы получить плотность.

[Munin]

Точнее, тремя случаями: когда средняя часть - первая, когда она вторая, и когда третья. То есть, область будет состоять из трёх частей.

[dsge]

Возьмите модуль разности и проинтегрируйте в квадрате.

[--mS--]

Речь идёт о второй порядковой статистике из трёх спейсингов: $l_1=\min\{x,y\}$, $l_2=\max\{x,y\}-\min\{x,y\}$, $l_3=1-\max\{x,y\}$. Спрашивается о матожидании $\mathsf E l_{(2)}$ - второй порядковой статистики.

У меня получилось $\mathsf E l_{(2)}=\frac{5}{18}$, но очень кривым путём: я нашла распределения длин минимального и максимального из отрезков $l_{(1)}$ и $l_{(3)}$ и их матожидания $\frac19$ и $\frac{11}{18}$ соответственно, а затем вычла всё из единицы. Функции распределения $l_{(1)}$ и $l_{(3)}$ следующие:

$$ F_{l_{(1)}}(t)=(1-3t)^2, \ t\in[0,1/3], \quad F_{l_{(3)}}(t)=\begin{cases}(3t-1)^2, & t\in[1/3,\,1/2],\cr 1-3(1-t)^2, & t\in[1/2,\,1]\end{cases} $$

[dsge]

MestnyBomzh в сообщении #1245014 писал(а):

Найти МО длины средней части.

Длина средней части будет $\left\lvert x- y\right\rvert$, независимо от того, кто больше, а кто меньше. Тогда ее МО

$$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}\left\lvert x- y\right\rvert dxdy=\frac{1}{3}$$

Или я что-то не так понимаю?

[GAA]

(Для себя оговорю, что величины $x$ и $y$ считаются независимыми, и чтобы не морочить голову с разными шрифтами буду использовать один.)

Можно, как и писали выше, выписать неравенства и, минуя нахождение плотности, сразу искать ожидание средней длины.
1. Случай $y < x$.

A. (Отрезок $x-y$ имеет среднюю длину)
(A1) $y < x-y < 1-x$, (A2) $1-x < x-y < y$.
$I_{A_1}= \int\limits_0^{1/2}dx \int\limits_0^{x/2}(x-y)dy + \int\limits_{1/2}^{2/3}dx \int\limits_{2x-1}^{x/2} (x-y)dy = \frac 5 {216}$, $I_{A_2}= \int\limits_{2/3}^1dx \int\limits_{x/2}^{2x-1}(x-y)dy = \frac 5 {216}$.

B. (Отрезок $y$ имеет среднюю длину)
(B1) $ x-y < y < 1-x$, (B2) $ 1-x < y < x-y $.
Вычисляя интегралы аналогичным образом, получим
$I_{B_1}= I_{B_2} = \frac 5 {216}$.

C. (отрезок $1-x$ имеет среднюю длину)
(C1) $y < 1 - x < x-y$, (С2) $x-y < 1 - x < y $.
$I_{C_1}= I_{C_2} = \frac 5 {216}$.

$I= I_{A_1}+ I_{A_2}+ …= \frac 5 {36}$.

2. В силу симметрии результат удвоим.

Ответ совпадает с ответом в предыдущем сообщении: $\frac 5 {18}$. (Надеюсь, не допустил опечаток.)
Просто, но занудно. Лучше показать, что все интегралы равны.

-- Вт 05.09.2017 11:14:35 --

dsge,
--mS-- ищет ожидание среднего по длине отрезка, а не ожидание среднего по номеру.
Ожидание длины среднего по номеру (среднего по расположению), очевидно равено $1/3$. [В условии слова "маленький" (т.е. короткий), "большой" (т.е. длинный),...]

[dsge]

GAA
А, да, спасибо. Невнимательно прочитал условие.

[DeBill]

1.Из соображений симметрии, можно считать $x<y$.
2. Из соображений симметрии (если точки считать лежащими на окружности), можно считать что средний равен $x$, ,больший равен $y-x$, а меньший равен $1-y$ . Наше матожидание тогда равно $\frac{1}{\left\lvert \Delta\right\rvert}\iint\limits_{\Delta}^{}x dxdy$ ( плотность теперь равна один, деленное на площадь $\Delta$)- это (нормированный) момент относительно оси $Oy$ треугольника $\Delta$, ограниченного прямыми $y=x, y=2x, x+y=1$. Момент равен площади , умноженный на расстояние до $Oy$ от центра масс (которое по свойству медиан равно $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} =\frac{5}{18}$). Поэтому матожидание такое и есть..
Нда, не шибко проще...