Задача нелинейного программирования ЗНЛП

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите с задачей: Даны три различных натуральных числа $a> b>c$, являющиеся длинами сторон тупоугольного треугольника. Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них: $\frac{a}{c} $, если известно, что среднее по величине из этих чисел $b=25$?
Решение.
Ищем: $\frac{a}{c} \to \min $
при нелинейных ограничениях:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} b +c >a \\ b^2 + c^2 < a^2 \\ \end{array} \right.$$

где: первое - это неравенство треугольника, второе - для тупоугольного треугольника, $b=25$, или

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-c<25 \\ a^2 - c^2 > 625 \\ \end{array} \right.$$

1 способ: для минимизации $\frac{a}{c}$ , необходимо величину $a>25$ и $c<25 $ выбрать как можно ближе к $25$. При этом должны выполняться ограничения. Рассуждаю интуитивно: при уменьшении знаменателя дробь растет гиперболически, а при увеличении числителя - линейно, поэтому логично знаменатель взять максимально возможный: $c=24$ , а числитель минимально возможный удовлетворяющий ограничениям, т.е. $a=35$. Таким образом, минимальное значение $ \frac{a}{c}=\frac{35}{24}$. Верно ли рассуждаю?

2 способ: хочу (очень) решить методом ЗНЛП, но сразу застрял. Функция и ограничения не выпуклые и не квадратичные, поэтому методы, рассмотренные в Акуличе, применить не могу (или не смог). Подскажите, можно ли и как здесь применить методы ЗНЛП?

[mihailm]

Корень из двух получается, если картинку нарисовать. Только это инфимум

[Stensen]

С невыпуклостью похоже наврал, здесь все выпуклое. Решаю графически:



нужно найти такие $x_1, \, x_2$ , при которых целевая функция (желтая прямая) будет иметь максимальный наклон и будут выполнены ограничения: $x_2 < 25 < x_1 $ и прямая будет лежать внутри красно-синей фигуры. Нарисовано кривовато, но виден ответ, который указал в первом посте: $x_2=24, \, x_1=35$

А вот с НЛП пока тружусь, изучаю основоположников.

[mihailm]

А, точно, не заметил, что в задаче числа то натуральные!

[Stensen]

mihailm в сообщении #1243981 писал(а):

Корень из двух получается, если картинку нарисовать. Только это инфимум

А каким методом Вы его получили? (не важно, что числа натуральные)

[ewert]

Stensen, Ваши ограничения на плоскости $ca$ задают криволинейный треугольник, ограниченный сверху прямой $a=c+25$, снизу -- гиперболой $a=\sqrt{625+c^2}$ и справа -- прямой $c=25$. Фиксированному отношению отвечает прямая $a=k\,c$; она должна проходить через треугольник и её наклон должен быть как можно меньше. Если бы допускались нецелые числа, то такая прямая проходила бы через точку пересечения гиперболы и вертикальной прямой, т.е. через точку с координатами $c=25$ и $a=\sqrt{625+25^2}=25\sqrt2\approx35.35$. Целочисленная же точка -- это самая нижняя из точек, лежащая на вертикальной прямой $c=24$ внутри треугольника, а это может быть лишь $c=24,\ a=35$ или $c=24,\ a=36$ (учитывая, что наклон гиперболы меньше единицы). Остаётся убедиться в том, что первая точка действительно лежит выше гиперболы.

[mihailm]

Stensen в сообщении #1244337 писал(а):

..А каким методом Вы его получили? (не важно, что числа натуральные)

Как и ewert. Рисуем $b$, $c$ будет находится внутри полуокружности радиуса 25 из (например) правой вершины $b$, так как тре-к тупоугольный то вторая вершина $a$ в четверти круга и смотрим что значит a/c поменьше.