Механические колебания.

[Solaris86]

Здравствуйте. Изучая тему механических колебаний, я наткнулся на деление колебаний по 3 критериям:
1. Гармоничности:
1) гармонические
2) негармонические
2. Периодичности:
1) периодические
2) непериодические
3. Затуханию:
1) затухающие
2) незатухающие
Из комбинаторных рассуждений, возможно $2^3 = 8$ вариантов колебаний:
1. Затухающие периодические гармонические колебания: колебания идеального камертона
2. Затухающие периодические негармонические колебания: колебания идеальной струны
3. Затухающие непериодические гармонические колебания: колебания реального камертона (квазипериодические)
4. Затухающие непериодические негармонические колебания: колебания реальной струны (квазипериодические)
5. Незатухающие периодические гармонические колебания: ?
6. Незатухающие периодические негармонические колебания: ?
7. Незатухающие непериодические гармонические колебания: ?
8. Незатухающие непериодические негармонические колебания: ?
У меня 2 вопроса:
1. Верно ли моё предположение о существовании 8 вариантов колебаний?
2. Верно ли подобраны примеры этих колебаний?
И еще просьба: помогите подобрать примеры, где у меня стоят знаки вопроса.

[fred1996]

Строго говоря гармонические колебания по определению должны быть периодическими.
Да еще с постоянной амплитудой. То есть незатухающие.
Хотя, если колебания описываются синусоидой с постоянной частотой, а амплитуда медленно затухает, например по экспоненте, то такие колебания вроде называют гармонические затухающие.
Вы еще забыли включить такой параметр как свободные и вынужденные колебания.
Поскольку в природе незатухающих свободных колебаний практически не бывает, особенно если это механичесие колебания, то можно скорее говорить о вынужденных незатухающих колебаниях.

[VLK17]

Solaris86 в сообщении #1243105 писал(а):

И еще просьба: помогите подобрать примеры, где у меня стоят знаки вопроса.

Не знаю, правильные или нет, но я нашел вот такие примеры колебаний:
3. Затухающие непериодические гармонические колебания: колебания ветвей деревьев во время ветра.
4. Затухающие непериодические негармонические колебания: колебания провода линий электропередач во время ветра.
5. Незатухающие периодические гармонические колебания: колебания маятника часов.
6. Незатухающие периодические негармонические колебания: колебания мембраны динамика при подаче на него прерывистых сигналов постоянной частоты (электрозвонок)
7. Незатухающие непериодические гармонические колебания: колебания воздуха во время передачи звуковых сигналов (например шум от водопада)
8. Незатухающие непериодические негармонические колебания: колебания атмосферного давления.

[arseniiv]

fred1996 в сообщении #1243108 писал(а):

Строго говоря гармонические колебания по определению должны быть периодическими.

[Walker_XXI]

VLK17 в сообщении #1243877 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1243105 писал(а):

И еще просьба: помогите подобрать примеры, где у меня стоят знаки вопроса.

Не знаю, правильные или нет, но я нашел вот такие примеры колебаний:
3. Затухающие непериодические гармонические колебания: колебания ветвей деревьев во время ветра.
4. Затухающие непериодические негармонические колебания: колебания провода линий электропередач во время ветра.
5. Незатухающие периодические гармонические колебания: колебания маятника часов.
6. Незатухающие периодические негармонические колебания: колебания мембраны динамика при подаче на него прерывистых сигналов постоянной частоты (электрозвонок)
7. Незатухающие непериодические гармонические колебания: колебания воздуха во время передачи звуковых сигналов (например шум от водопада)
8. Незатухающие непериодические негармонические колебания: колебания атмосферного давления.

Ну вот как бы не угадали.

Физическая энциклопедия писал(а):

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, при к-рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону $x=A\,sin(\omega t + \varphi)$, где $x$ - значение колеблющейся величины в момент времени $t$ (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич.- напряжение и сила тока), $A,\,\omega,\,\varphi$ - пост. величины

Поэтому гармонические колебания, вообще говоря, не могут быть ни затухающими, ни апериодическими - они всегда периодические (с периодом $T=2\pi/\omega$) и незатухающие ($A$ - постоянная величина).

Solaris86 в сообщении #1243105 писал(а):

1. Верно ли моё предположение о существовании 8 вариантов колебаний?
2. Верно ли подобраны примеры этих колебаний?

И классификация неверная, и примеры (см. выше определение их энциклопедии). Итого, по Вашей классификации, бывает 5 видов колебаний: гармонические и 4 вида негармонических (комбинации по затуханию и периодичености). Однако колебания могут быть близкими к гармоническим на конечном промежутке времени, например, когда они описываются уравнением, сходным с уравнением гармонических колебаний, но с медленно меняющимися (по сравнению с начальным периодом) параметрами. И этот случай гораздо ближе к физике.

[arseniiv]

Строго говоря ведь периодичность $\exists T>0\; \forall t\in\ldots\; f(t+T) = f(t)$ с затуханием тоже несовместима. (Подумал, что уже упоминали, а вроде нет.) С теми же самыми добавлениями о «почти периодичности», конечно.

[fred1996]

Самое главное мне кажется то, что на практике как раз наиболее важны комбинированные случаи колебаний.
1. Колебания с вязким трением, когда сила трения пропорциональна скорости.
$x=A\exp(-\alpha t)\sin(\omega t)$
2. Колебания с сухим трением, что приводит к некоторой кусочной полупериодичности по той же синусоиде, но со смещенным "равновесным" положением.
3. Вынужденные колебания с вязким трением с периодической силой трения $F=F_0\sin(\omega t)$
4. Биения. Наложение двух гармонических колебаний с близкими частотами и одинаковой амплитудой
$x=A\sin(\Omega t)\sin(\omega t)$
5. Гармонические стоячие волны в резонаторах, где имеем дело с гармониками - наложение гармонических колебаний с кратными частотами. Частный пример - закрепленная в двух концах натянутая струна.

Как видно, все эти колебания в известном смысле гамонические. Но еще амплитуда изменяется достаточно медленно по сравнению с основной колебательной частотой. И изменения этой амплитуды описываются достаточно просто.

Ну и, как понятно, все это относится к весьма простым одномерным колебательным системам с одной выделенной частотой.

[Walker_XXI]

arseniiv в сообщении #1243914 писал(а):

Строго говоря ведь периодичность $\exists T>0\; \forall t\in\ldots\; f(t+T) = f(t)$ с затуханием тоже несовместима

Согласен. Сам по невнимательности совершил ту же ошибку, что критиковал: периодическую функцию с затухающей амплитудой причислил к периодическим. А всё из-за нестрогости жаргонных терминов.

fred1996 в сообщении #1243917 писал(а):

Самое главное мне кажется то, что на практике как раз наиболее важны комбинированные случаи колебаний.

Да. А строго гармонические и периодические колебания - это лишь идеализации, порой дающие неплохие приближения.

[Munin]

Такие "классификации" возникают при самом начальном и поверхностном знакомстве с предметом. А по мере углубления знаний, надобность в них отпадает.

Механические колебания?

I. Сначала рассмотрим функцию $x(t),$ которая описывает само колебание. Здесь сначала возникают

Периодические функции - такие, что $x(t+T)=x(t),$ а остальные называются непериодическими. Из них особо выделяются

Гармонические (колебания) - вида $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ (общепринято использовать косинус, а не синус).

Среди непериодических стоит отметить иногда встречающиеся:

- квазипериодические затухающие (колебания) - такие, что $x(t+T)=e^{-\beta t}x(t),$ и в том числе

$x=A\,e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi)$ - "затухающие гармонические";
- раскладывающиеся в сумму гармонических или "затухающих гармонических".

II. Далее рассмотрим динамическую систему, совершающую колебания. Такая система задаётся некоторым дифференциальным уравнением (ДУ), а кроме того, условия движения этой системы становятся начальными и другими условиями.

$$\text{ДУ}+\text{условия}=\text{решение ДУ},$$

то есть как раз функция движения. Прежде всего, обсуждается уравнение

Гармонического осциллятора

$$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^{2}x=0\qquad\Bigl(\,\,\ddot{x}+\omega^{2}x=0\,\,\Bigr),$$
которое возникает, например, у пружинного маятника, у математического маятника (приближённо), у крутильного маятника, и в других механических системах. И не только в механических, так что оно интересно во всей физике. Гармонический осциллятор совершает гармонические колебания.

Для гармонического осциллятора рассматриваются различные обобщения, охватывающие различные физические ситуации. Прежде всего это гармонический осциллятор с затуханием

$$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+2\beta\dfrac{dx}{dt}+\omega^{2}x=0\qquad\Bigl(\,\,\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}x=0\,\,\Bigr),$$
совершающий (при небольшом затухании) "затухающие гармонические колебания". Механически он реализуется при движении маятника в вязкой среде при не слишком большой скорости движения - когда сила трения ведёт себя линейно, а не квадратично.

Другой важный вариант - осциллятор с возбуждающей силой, совершающий вынужденные колебания (а до этого осциллятор и колебания назывались свободными):

$$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^{2}x=f(t)\qquad\Bigl(\,\,\ddot{x}+\omega^{2}x=f(t)\,\,\Bigr),$$
где функция $f(t)$ задаётся внешними условиями (например, кто-то качает подвес маятника), и должна включаться в условия математической постановки задачи. Здесь теория становится шире:

- есть возбуждающая сила общего вида,
- есть периодическое возбуждение $f(t+T_f)=f(t),$ период которой может не совпадать с периодом свободных колебаний;

- в частности, есть гармоническое возбуждение $f=F\cos(\omega t+\varphi).$
Результаты здесь шире и разнообразнее, чем можно вместить в один пост: они изложены в целом учебнике по линейным дифференциальным уравнениям.

Эти варианты можно объединить. Кроме того, возможно рассматривать нелинейные уравнения, и вообще обсуждать динамические системы общего вида, задаваемые либо дифференциальными уравнениями, либо фазовыми портретами. Здесь возникают разные интересные явления:

- резонанс;
- автоколебания (простейший пример - детские качели, и волны от ветра на воде);
- параметрический резонанс;
- явления хаоса и самоорганизации;
и многое другое.

Надеюсь, теперь понятно, что в какую-то "табличку" из 8 или из 88 клеточек это не укладывается, и бессмысленно пытаться уложить.

[fred1996]

Скорее тогда для классификации колебательных процессов целесообразнее рисовать не табличку, а дерево.
Кстати, мне всегда было интересен такой момент. Почему гармонические колебания принято называть синусоидальными, но при этом в формулах использовать косинус?
И потом колебательные процессы сами по себе достаточно уникальны в физике в том плане, что являются неким мостиком между классической и современной физикой.
Пока студент не освоил в полной мере "классические" колебательные процессы и связанную с ними математику, не имеет смысла приступать к изучению современной физики.

[arseniiv]

(Косинус и синус)

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):

Почему гармонические колебания принято называть синусоидальными, но при этом в формулах использовать косинус?

С этим может быть как-нибудь связано название кривой (синусоида). (В одном месте я видел «кривую» с названием «косинусоида», но это ведь та же синусоида, просто сдвинутая, что на названии кривой сказываться никак не должно (с существующей традицией именования это предположение прекрасно совмещается — взять хоть названия всех кривых не более чем второго порядка). Ну да в том месте вообще бардака было полно.) А косинус, наверно, удобен тем, что когда фаза колебания нулевая, величина равна амплитуде.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):

Скорее тогда для классификации колебательных процессов целесообразнее рисовать не табличку, а дерево.

Примерно это я и попытался изобразить. Однако и не просто дерево, а дерево с переплетёнными ветвями :-)

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):

Почему гармонические колебания принято называть синусоидальными, но при этом в формулах использовать косинус?

По историческим причинам: античные авторы назвали синус синусом, поскольку ещё не знали, что косинус "первичнее". Потом Эйлер открыл формулы

$$\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\qquad\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$$

и стало ясно, что базис начинается с косинуса, а не с синуса.

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):

И потом колебательные процессы сами по себе достаточно уникальны в физике в том плане, что являются неким мостиком между классической и современной физикой.

Ну, они вообще в некотором смысле центральная тема во всей физике.