Пять прямых в трёх и двух точках

[Ktina]

а) Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в трёх различных точках. Либо докажите, что это невозможно.

б) Тот же вопрос, но теперь точек две.

[kotenok gav]

А) Строим треугольник, дальше берем вершину, и строим через нее прямую, паралельную прямой, противоположной вершине. С другой вершиной делаем тоже самое.

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1243346 писал(а):

А) Строим треугольник, дальше берем вершину, и строим через нее прямую, паралельную прямой, противоположной вершине. С другой вершиной делаем тоже самое.

Если я Вас правильно понимаю, то у Вас будут 4 точки, а не 3.
Здесь проблема в том, что для любого ЦНЧ от 0 до 10 включительно, кроме 2 и 3, легко привести пример пяти прямых с этим числом точек пересечения. А вот 2 и 3...

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1243359 писал(а):

Если я Вас правильно понимаю, то у Вас будут 4 точки, а не 3.

Ой...

[ИСН]

В общем виде (для $n$ прямых) интересный вопрос же: сколько может быть?

[Vadimovich]

Пусть n - данное количество прямых, k - количество прямых, пересекающихся в одной точке, через которую проходит n+1 прямая (если проходит), m - количество прямых, параллельных n+1 прямой

Тогда количество новых точек пересечения, созданные n+1-ой прямой будет равно Z=n-k-m

В нашей задаче дано n=4. k>=2 либо k=0 (такова жизнь).
Пусть Z - количество точек пересечения, созданные 5ой прямой.
Так как условие в том, что должно быть всего 3 точки пересечения, то Z<=3.
Допустим, Z=3, тогда m+k=1, m=1. Получаем противоречие, так как если Z=3, то все 4 прямые должны быть параллельны, а это не так, потому что m=1, а в случае, когда все 4 параллельны, должно быть m=4.
Значит Z=1 или Z=2 или Z=0.
Допустим, Z=0, тогда 5ая прямая либо проходит через одну точку со всеми прямыми, либо параллельна оным, что дает 0 или 1 точку пересечения в сумме, что не подходит по условию.
Допустим, Z=2, тогда k+m=2, тогда либо 1) m=2,k=0, либо 2) m=0,k=2.
1) Так как Z=2, то начальные 4 прямые должны создавать лишь 1 точку пересечения. Значит, они все не параллельны. Значит, m<=1, противоречие.
2) Имеем 3 прямые, которые пересекаются в одной точке (k=2, и 5ая прямая). Еще 2 прямые непременно создадут еще 2 точки пересечения с 5ой прямой, так как не параллельны ей (m=0) и не пересекаются ни на какой точке лежащей на 5ой прямой (k=2). Поскольку k=2 и никакая прямая не может быть одновременно параллельна двум другим прямым, которые, в свою очередь, тоже не параллельны, то 2 вышеупомянутые прямые создадут еще минимум 2 точки пересечения, что не соответствует условию задачи.
Допустим, Z=1, тогда k+m=3, 1) k=3, m=0. 2) k=2, m=1. 3) k=0,m=3
1) Так как k=3, то после проведения 5 прямой, получим 4 прямые, которые пересекаются в одной точке и еще одну, которая параллельна максимум 1 из них, следовательно, создает либо 3 либо 4 точки пересечения, что в сумме даст либо 4 либо 5, что противоречит требованию задачи о 3 точках пересечения.
2) Имеем 3 прямые, которые пересекаются в 1 точке, и еще одну прямую, параллельную одной из тех, которые пересеклись в 1 точке. Эта прямая пересекает 2 из 3 упомянутых прямых, создавая еще 2 точки пересечения. Тогда последняя прямая не должна создавать точек пересечения вовсе, что возможно только если все 4 уже указанные прямые параллельны. Поскольку это не так - получаем противоречие
3) После проведения 5ой прямой получим 4 прямые, которые параллельны и одну, которая, следовательно, пересекает все остальные. Эта ситуация не соответствует условию про 3 точки пересечения.

В общем, Z не равно 0, 1, 2, 3 при n=4, так что нарисовать 5 прямых с 3 точками пересечения невозможно.

С двумя точками можно доказать методом пристального вглядывания в картинку, но можно и так: допустим, есть 3 прямые, которые пересекаются в 2 точках. Проведем четвертую: она проходит через обе точки пересечения. Но через 2 точки можно провести лишь 1 прямую. Противоречие. Ну и если на 4 не выходит, то и на 5 тем более

[Gagarin1968]

Vadimovich в сообщении #1243741 писал(а):

допустим, есть 3 прямые, которые пересекаются в 2 точках

Это как? Если это евклидова плоскость, то $3$ прямые могут пересекаться либо в $1$, либо в $3$ точках.

[gris]

Gagarin1968, чего-то вспомнились теоремы о накрест лежащих, односторонних и соответственных углах

[Vadimovich]

Gagarin1968 в сообщении #1243759 писал(а):

Это как? Если это евклидова плоскость, то $3$ прямые могут пересекаться либо в $1$, либо в $3$ точках.

Прямые пересекаются не попарно. 2 из 3 прямых - параллельны. Имеется в виду, что вся фигура из 3 прямых имеет всего 2 точки пересечения

[Ktina]

Vadimovich
Большое спасибо!